Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UNICAMP, Cálculo 3, Exame - 2013.1 - Vespertino, Questão 2a

( a )   Calcule a convolução de f t = 2 t e g t = s e n   2 t .

Passo 1

Vamos calcular uma convolução: f t * g ( t ) . Mas sabemos que a Transformada de Laplace da convolução leva a um produto, certo? Então fazemos assim:

L f ( t ) * g t = L f ( t ) . L g ( t )

Bom, sabemos o seguinte:

L f ( t ) = F s

f t = 2 t F s = 2 s 2

Além disso,

L g ( t ) = G s

g t = s e n   2 t F s = 2 s 2 + 4

Portanto,

L f ( t ) * g t = F ( s ) . G ( s )

L f ( t ) * g t = 2 s 2 . 2 s 2 + 4 = 4 s 2 s 2 + 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Okay, agora vamos separar em frações parciais a expressão acima:

4 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + C s + D s 2 + 4

E vamos fazer as multiplicações cruzadas para obter

4 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 s 2 s 2 + 4

O numerador, então, se torna:

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = A s 3 + B s 2 + 4 A s + 4 B + C s 3 + D s 2

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = ( A + C ) s 3 + ( B + D ) s 2 + 4 A s + 4 B

E, comparando termo a termo, para que a expressão se iguale a 4 :

A + C = 0 B + D = 0 4 A = 0 4 B = 4

Assim, concluímos que A = 0 , B = 1 , C = 0 e D = - 1 . Logo:

4 s 2 s 2 + 4 = 1 s 2 - 1 s 2 + 4

Passo 3

Finalmente, vamos tomar a transformada inversa para obter a convolução desejada.

f ( t ) * g t = L - 1 1 s 2 - 1 s 2 + 4

f ( t ) * g t = t - 1 2 s e n   2 t

Resposta

f ( t ) * g t = t - 1 2 s e n   2 t

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