Exercícios Resolvidos de Transformada de Função Multiplicada por t^n

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Enunciado

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t ; ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   ; ∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ  

Passo 1

Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t

A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos separar essa em duas: L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - L 3 t 2 e 3 t

Vamos calcular cada uma separadamente. Para a primeira, vamos lembrar que:

L e a t f t = L f t s - a

Então, nesse caso:

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t = L cos 2 ⁡ 3 t s + 2

OK, mas qual é:

L cos 2 ⁡ 3 t = ? ?

Aqui convém lembrarmos de uma propriedade dos cossenos: cos 2 ⁡ a = 1 + cos ⁡ 2 a 2

Assim: L cos 2 ⁡ 3 t = L 1 + cos ⁡ 6 t 2 = 1 2 L 1 + 1 2 L cos ⁡ 6 t

Como:

L 1 = 1 s               e L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Temos:

L cos 2 ⁡ 3 t = 1 2 s + s 2 s 2 + 6 2

Então, voltando para parte com exponencial:

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36

Acabou? Não! Falta a segunda parte:

L 3 t 2 e 3 t

Seguindo a lógica da função que multiplica a exponencial: L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3

Como:

L t n = n ! s n + 1

Então:

3 L t 2 s - 3 = 3 ⋅ 2 ! s - 3 3 = 6 s - 3 3

Show, então temos: L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - L 3 t 2 e 3 t

= 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

Passo 2

Vamos calcular agora:

L ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ  

Vamos calcular a integral por partes e então determinar a transformada de Laplace. Então vamos lá. Seguindo a regra do LIATE (lembra dela?), temos:

u = cos ⁡ τ v = e τ d u = - sen ⁡ τ d τ d v = e τ d τ

Então:

∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = u v 0 t - ∫ 0 t v d u =   e τ cos ⁡ τ 0 t + ∫ 0 t e τ sen ⁡ τ d τ

= e t cos ⁡ t - 1 + ∫ 0 t e τ sen ⁡ τ d τ

Para a nova integral, vamos por partes novamente:

u = sen ⁡ τ v = e τ d u = cos ⁡ τ d τ d v = e τ d τ

∫ 0 t e τ sen ⁡ τ d τ = u v 0 t - ∫ 0 t v d u =   e τ sen ⁡ τ 0 t - ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ

= e t sen ⁡ t - ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ

Assim, temos:

∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = e t cos ⁡ t - 1 + e t sen ⁡ t - ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ

Logo:

2 ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = e t cos ⁡ t - 1 + e t sen ⁡ t

∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = 1 2 e t cos ⁡ t + 1 2 e t sen ⁡ t - 1 2

Legal, agora vamos calcular a transformada de Laplace disso. Temos que, como é uma operação linear:

L ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = L 1 2 e t cos ⁡ t + 1 2 e t sen ⁡ t - 1 2 =

1 2 L e t cos ⁡ t + 1 2 L e t sen ⁡ t - 1 2 L 1

Como temos:

L e a t f t = L f t s - a

Então:

L e t cos ⁡ t = L cos ⁡ t s - 1

L e t sen ⁡ t = L sen ⁡ t s - 1

Com:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2 ; L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Ficamos: L e t cos ⁡ t = s - 1 s - 1 2 + 1

L e t sen ⁡ t = 1 s - 1 2 + 1

Então temos: L ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = s - 1 2 s - 1 2 + 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 - 1 2 s

Passo 3

Para acabar, temos:

L ∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ  

Seguindo a mesma lógica anterior, temos:

∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ   = sen ⁡ t - t cos ⁡ t

Então, temos que:

L ∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ   = L sen ⁡ t - t cos ⁡ t = L sen ⁡ t - L t cos ⁡ t

Temos que: L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

Além disso, de forma geral: L t n f ( t ) s = - 1 n d n F s d s n  

Então: L t cos ⁡ t = - d L cos ⁡ t d s

Sendo: L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Então, pela regra do quociente:

d d s s s 2 + 1 = s ' s 2 + 1 - s s 2 + 1 ' s 2 + 1 2 = 1 s 2 + 1 - s 2 s s 2 + 1 2

= s 2 + 1 - 2 s 2 s 2 + 1 2 = - s 2 + 1 s 2 + 1 2

Logo:

L t cos ⁡ t = s 2 - 1 s 2 + 1 2

Então:

L ∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ   = 1 s 2 + 1 - s 2 - 1 s 2 + 1 2

Resposta

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

L ∫ 0 t e τ cos ⁡ τ d τ   = s - 1 2 s - 1 2 + 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 - 1 2 s

L ∫ 0 t τ sen ⁡ τ d τ   = 1 s 2 + 1 - s 2 - 1 s 2 + 1 2