Exercícios Resolvidos de Transformada de Função Multiplicada por t^n

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 393-13.

Calcule:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

Passo 1

Queremos calcular:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

Gezuis, eu não sei como calcular transformada de integral? Como viver? Calma jovem, você não precisa calcular transformada de integral nenhuma. Essa integral é bem calculável.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olhe só:

∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = - cos ⁡ τ | 0 t = 1 - c o s ⁡ ( t )  

Então vai ficar, já que a transformada é linear:

L t ( 1 - c o s ⁡ ( t )   ) = L t - L { t cos ⁡ ( t ) }

Passo 3

Então, vamos calcular uma a uma. Pelas transformadas tradicionais:

L t = 1 s 2

Passo 4

Agora, para:

L t cos ⁡ t =   ? ?

Temos que lembrar que:

L t n f t = - 1 n d n d s n L { f ( t ) }

Para a nossa transformada queremos:

L t cos ⁡ t = - d d s L cos ⁡ t = - d d s ⋅ s s 2 + 1 = - 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Então, juntando tudo:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

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