Exercícios Resolvidos de Transformada de Função Multiplicada por t^n

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 3 t = t e - 4 t u 1 t ,   t ≥ 0

Passo 1

Começamos aplicando a transformada em toda a função:

L f 3 t = L t e - 4 t u 1 t

Tem bastante coisa aí. Vamos resolver essa transformada com calma. Começamos vendo o efeito de t na derivada. De forma geral, teremos que: L t n y t = - 1 n d n d s n L y t

Então, para o nosso caso vamos ter: L t e - 4 t u 1 t = - d d s L e - 4 t u 1 t

Vamos olhar então para

L e - 4 t u 1 t

Para a exponencial, em geral vamos ter:

L e c t y t = L y t s - c

Ou seja, a transformada vai aparecer deslocada. Então, vamos ter:

L e - 4 t u 1 t = L u 1 t s + 4

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Passo 2

Legal. Então chegamos finalmente em

L u 1 t

De forma geral: L u c t = e - c s s

Então, vamos ter:

L u 1 t = e - s s

Temos que analisar agora para quais valores de s a transformada é válida. Para isso, lembramos da definição:

L y t = ∫ 0 ∞ y t e - s t d t

Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:

L u 1 t = ∫ 0 ∞ u 1 t e - s t d t = ∫ 1 ∞ e - s t d t

Olhando para exponencial, vemos que precisamos que s > 0 para garantir a convergência. Então, vamos ter:

L u 1 t = e - s s , s > 0

Passo 3

Já vimos que:

L e - 4 t u 1 t = L u 1 t s + 4

Então, substituindo o valor que temos:

L u 1 t s + 4 = e - s + 4 s + 4

Considerando esse deslocamento, teremos:

L e - 4 t u 1 t = e - s + 4 s + 4 , s > - 4

Passo 4

Para terminar, vamos determinar

L t e - 4 t u 1 t = - d d s L e - 4 t u 1 t = - d d s e - s + 4 s + 4

Para calcular essa derivada, usamos a regra do produto:

- d d s e - s + 4 s + 4 = - e - s + 4 ' s + 4 + e - s + 4 1 s + 4 '

= e - s + 4 s + 4 + e - s + 4 s + 4 2

L t e - 4 t u 1 t = e - s + 4 s + 4 + e - s + 4 s + 4 2

E nada muda com relação a s , pois só derivamos a transformada. Então vai ficar:

L t e - 4 t u 1 t = e - s + 4 s + 4 + e - s + 4 s + 4 2 , s > - 4

Resposta

L t e - 4 t u 1 t = e - s + 4 s + 4 + e - s + 4 s + 4 2 , s > - 4

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