Exercícios Resolvidos de Transformada de Função Multiplicada por t^n

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 1a

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t

Dica: L - t   f t = d d s L { f }

Passo 1

Queremos calcular:

L f t = L { 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t }

Como a transformada é linear:

L f t = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L { t sen ⁡ ( t ) }

Vamos calcular as transformadas uma a uma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelas transformadas tradicionais:

L 1 = 1 s

Passo 3

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Passo 4

E essa?

L t sen ⁡ t =   ? ?

Temos que usar o que gente aprendeu nessa teoria. A transformada de

L t f t = - 1 1 d d s F s

Assim, para:

L t sen ⁡ t

Temos:

L t sen ⁡ t = - d d s L sen ⁡ t = - d d s ⋅ 1 s 2 + 1 = 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Lembre-se que é a derivada da transformada, não a transformada da derivada. Não vai derivar o seno e calcular a transformada do cosseno. Primeiro a gente transforma o seno e então deriva!

Passo 5

Lembrando que

L f t = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L t sen ⁡ t

Juntando tudo então:

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - 1 2 2 s 1 + s 2 2

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2

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