Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 5, Questão 1d

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

t U t - 2 ; e 2 - t U t - 2 ; t 2 * e t ; e - t * e t cos ( t )

Passo 1

Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:

L t U t - 2

Como, de forma geral: L f t - c U t - c = e - c s L f t

Precisamos que estivesse na forma: L t - 2 U t - 2  

Para usar a propriedade direto! Mas calma, nem tudo está perdido. Temos que:

L t - 2 U t - 2 = L t U t - 2 - 2 U t - 2 = L t U t - 2 - 2 L U t - 2

Então: L t U t - 2 = L t - 2 U t - 2 + 2 L U t - 2

Então vamos calcular as duas transformadas à direita. Pela propriedade: L t - 2 U t - 2 = e - 2 s L t = e - 2 s 1 s 2 = e - 2 s s 2

E também:

L U t - 2 = e - 2 s L 1 = e - 2 s s

Logo, temos que:

L t U t - 2 = e - 2 s s 2 + 2 e - 2 s s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que: L e 2 - t U t - 2

Está na forma: L f t - c U t - c

Com:

f t = e - t

Então: L e 2 - t U t - 2 = e - 2 s L e - t = e - 2 s s + 1

Passo 3

Agora vamos usar a propriedade do produto convolução. Temos que:

L f t * g t = L f t L g t

Nesse caso: L t 2 * e t = L t 2 L e t

Como, de forma geral:

L t n = n ! s n + 1

Temos que: L t 2 = 2 s 3

Além disso, temos:

L e t = 1 s - 1

Logo: L t 2 * e t = 2 s 3 s - 1

Feito!

Passo 4

Usando novamente a propriedade do produto convolução, temos:

L e - t * e t cos ( t ) = L e - t L e t cos ( t )

Em que:

L e - t = L 1 e - t = L 1 s + 1 = 1 s + 1

E também: L e t cos ( t ) = L cos t s - 1 = s - 1 s - 1 2 + 1

Logo, temos: L e - t * e t cos ( t ) = 1 s + 1 s - 1 s - 1 2 + 1

Foi!

Resposta

L t U t - 2 = e - 2 s s 2 + 2 e - 2 s s

L e 2 - t U t - 2 = e - 2 s s + 1

L t 2 * e t = 2 s 3 s - 1

L e - t * e t cos ( t ) = 1 s + 1 s - 1 s - 1 2 + 1

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