Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 5, Questão 1c

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e - 2 t cos 2 3 t - 3 t 2 e 3 t ; 0 t e τ cos τ d τ   ; 0 t τ sen τ d τ  

Passo 1

Vamos resolver uma transformada em cada passo. Primeiro, vamos calcular:

L e - 2 t cos 2 3 t - 3 t 2 e 3 t

A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos separar essa em duas: L e - 2 t cos 2 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 3 t - L 3 t 2 e 3 t

Vamos calcular cada uma separadamente. Para a primeira, vamos lembrar que:

L e a t f t = L f t s - a

Então, nesse caso:

L e - 2 t cos 2 3 t = L cos 2 3 t s + 2

OK, mas qual é:

L cos 2 3 t = ? ?

Aqui convém lembrarmos de uma propriedade dos cossenos: cos 2 a = 1 + cos 2 a 2

Assim: L cos 2 3 t = L 1 + cos 6 t 2 = 1 2 L 1 + 1 2 L cos 6 t

Como:

L 1 = 1 s               e L cos a t = s s 2 + a 2

Temos:

L cos 2 3 t = 1 2 s + s 2 s 2 + 6 2

Então, voltando para parte com exponencial:

L e - 2 t cos 2 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36

Acabou? Não! Falta a segunda parte:

L 3 t 2 e 3 t

Seguindo a lógica da função que multiplica a exponencial: L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3

Como:

L t n = n ! s n + 1

Então:

3 L t 2 s - 3 = 3 2 ! s - 3 3 = 6 s - 3 3

Show, então temos: L e - 2 t cos 2 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 3 t - L 3 t 2 e 3 t

= 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular agora:

L 0 t e τ cos τ d τ  

Vamos calcular a integral por partes e então determinar a transformada de Laplace. Então vamos lá. Seguindo a regra do LIATE (lembra dela?), temos:

u = cos τ v = e τ d u = - sen τ d τ d v = e τ d τ

Então:

0 t e τ cos τ d τ   = u v 0 t - 0 t v d u =   e τ cos τ 0 t + 0 t e τ sen τ d τ

= e t cos t - 1 + 0 t e τ sen τ d τ

Para a nova integral, vamos por partes novamente:

u = sen τ v = e τ d u = cos τ d τ d v = e τ d τ

0 t e τ sen τ d τ = u v 0 t - 0 t v d u =   e τ sen τ 0 t - 0 t e τ cos τ d τ

= e t sen t - 0 t e τ cos τ d τ

Assim, temos:

0 t e τ cos τ d τ   = e t cos t - 1 + e t sen t - 0 t e τ cos τ d τ

Logo:

2 0 t e τ cos τ d τ   = e t cos t - 1 + e t sen t

0 t e τ cos τ d τ   = 1 2 e t cos t + 1 2 e t sen t - 1 2

Legal, agora vamos calcular a transformada de Laplace disso. Temos que, como é uma operação linear:

L 0 t e τ cos τ d τ   = L 1 2 e t cos t + 1 2 e t sen t - 1 2 =

1 2 L e t cos t + 1 2 L e t sen t - 1 2 L 1

Como temos:

L e a t f t = L f t s - a

Então:

L e t cos t = L cos t s - 1

L e t sen t = L sen t s - 1

Com:

L cos a t = s s 2 + a 2 ; L sen a t = a s 2 + a 2

Ficamos: L e t cos t = s - 1 s - 1 2 + 1

L e t sen t = 1 s - 1 2 + 1

Então temos: L 0 t e τ cos τ d τ   = s - 1 2 s - 1 2 + 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 - 1 2 s

Passo 3

Para acabar, temos:

L 0 t τ sen τ d τ  

Seguindo a mesma lógica anterior, temos:

0 t τ sen τ d τ   = sen t - t cos t

Então, temos que:

L 0 t τ sen τ d τ   = L sen t - t cos t = L sen t - L t cos t

Temos que: L sen t = 1 s 2 + 1

Além disso, de forma geral: L t n f ( t ) s = - 1 n d n F s d s n  

Então: L t cos t = - d L cos t d s

Sendo: L cos t = s s 2 + 1

Então, pela regra do quociente:

d d s s s 2 + 1 = s ' s 2 + 1 - s s 2 + 1 ' s 2 + 1 2 = 1 s 2 + 1 - s 2 s s 2 + 1 2

= s 2 + 1 - 2 s 2 s 2 + 1 2 = - s 2 + 1 s 2 + 1 2

Logo:

L t cos t = s 2 - 1 s 2 + 1 2

Então:

L 0 t τ sen τ d τ   = 1 s 2 + 1 - s 2 - 1 s 2 + 1 2

Resposta

L e - 2 t cos 2 3 t - 3 t 2 e 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

L 0 t e τ cos τ d τ   = s - 1 2 s - 1 2 + 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 - 1 2 s

L 0 t τ sen τ d τ   = 1 s 2 + 1 - s 2 - 1 s 2 + 1 2

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