Exercícios Resolvidos de Transformada Inversa

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Enunciado

Ache a transformada inversa da função dada:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Oiii! Vamos seguir fazendo nossas transformadas! Uhul

Epa que cara estranha! A parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!

Podemos tentar achar um produto notável nesse denominador! Lembra desse carinha aqui? s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1

Entao podemos ajeitar a função desse jeitinho:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

Passo 2

Então, colocando no nosso produto, temos que:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Passo 3

Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada??

Vamos colocar o 2 em evidência aqui, dessa vez no numerador!

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Sempre que você ver essa função deslocada que é esse + 1 , esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja pensa na função como se fosse:

2 s s 2 + 4

Opa, esse daí você consegue achar na tabela hehe, o inverso dele é:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente viu que a função deslocada é escrita desse jeitinho aqui:

L e c t f t s = L f t s - c

Se eu pegar uma função que varia com t e multiplicar ela por uma exponencial e c t , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento

s - c

Nesse caso estamos deslocados em

s + 1

Logo - c = + 1 , assim c = - 1 . A cara do resultado é:

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Resposta

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t