Exercícios Resolvidos de Transformada Inversa

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Enunciado

Considere a função F s = 28 s 2 + 6 s + 25 . Calcular a transformada inversa de Laplace da função F ( s ) .

( ) 7 e 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t ( sen ⁡ ( 4 t ) + cos ⁡ ( 4 t ) )  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada inversa de Laplace da função

F s = 28 s 2 + 6 s + 25

Vamos alterar esse denominador para ficar mais parecido com o que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace, o denominador é esse aqui:

s 2 + 6 s + 25

A gente tem que fazer ficar parecido através de um método que é completando quadrados, se liga nesse produto notável aqui:

s + 3 2 = s 2 + 6 s + 9

Concorda comigo que 25 = 9 + 16 ? Então vamos separar na nossa equação

s 2 + 6 s + 9 + 16

Usando esse produto notável ficamos com

s + 3 2 + 16

E para acharmos alguma coisa parecida com a tabela é só pensar comigo, o que ao quadrado da 16?

s + 3 2 + 4 2

Então, voltando a nossa função teremos:

F s = 28 s 2 + 6 s + 25 = 28 s + 3 2 + 4 2

Passo 2

Vamos, olhar para essa parte da tabela que é a mais parecida com a função que a gente quer.

Para ficar ainda mais parecida com a primeira função, a gente tem que colocar 4 no numerador, então vamos reescrever esse 28 como sendo 7.4 , desse jeitinho aqui:

F s = 7 ⋅ 4 s + 3 2 + 4 2

Quando a questão pede transformada inversa de Laplace, a gente tem que ver qual é a função mais parecida com o que a gente tem, e aí mexemos um pouco pra ver se fica no mesmo formato e com as mesmas características. Dá um trabalhinho, mas pelo menos, com a tabela, a gente sabe onde quer chegar.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função com a tabela e vemos que se chamarmos a = - 3 e b = 4 , temos exatamente a primeira função.

Então,

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

Resposta

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )