Exercícios Resolvidos de Transformada Inversa

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Enunciado

Calcule a inversa da transformada de Laplace de:

F s = 1 ( s 2 - 1 )

Passo 1

Fala aii! Tudo certinho? Estão preparados para começar os trabalhos em transformada inversa? Então vamos lá!

Primeira coisa que vamos fazer é analisar a nossa função F s

F s = 1 ( s 2 - 1 )

Hmmm não parece nada do que temos na tabelinha clássica de Transformadas né? Então vamos ajeitar essa nossa função! Usando as famosas frações parciais.

Como isso? É mais de boinhas do que parece!

Olha que s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 ) , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:

F s = 1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1

F s = A s + 1     +     B s - 1

Passo 2

Para achar as constantes, é bem fácil: a gente vai somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original.

F s = A s + 1 + B s - 1 = A s - 1 + B s + 1 s + 1 s - 1

Aplicando a distributiva, ficamos com:

A s - A + B s + B ( s + 1 ) ( s - 1 )

E a gente vai separar os termos que têm s dos que não tem, ficando com isso aqui:

s A + B + ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Agora fazemos uma comparação como o que tínhamos antes:

1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) = s A + B + ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Como os denominadores são iguais, a gente vai comparar os numeradores.

Aqui a gente pensa assim: do lado esquerdo não tem ninguém multiplicando o s , então A + B = 0 . E o 1 precisa ser igual aos termos que estão sozinhos do lado direito, então A - B = 1 .

Com isso podemos montar um sistema:

A + B = 0 B - A = 1  

Resolvendo esse sistema temos que:

A =   - 1 / 2 B = 1 / 2  

Como tínhamos

F s = A s + 1     +     B s - 1

Podemos substituir A e B :

F s = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1

E consultando a tabela de transformada, podemos ver que a transformada inversa é

f t = - 1 2 e - t + 1 2 e t

Resposta

f t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1