Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Faaala ai! Vamos começar essa questão de derivadas parciais para ficar fera!
Pra isso a gente vai começar calculando . Lembra que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à então tudo diferente de é considerado como constante.
Xiii... Como que eu faço essa derivada doida aí? Cara, quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:
Então nossa derivada fica
Parece um monstro de sete cabeças, né? Kkkkk Mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo isso aí e vai ficar mais tranquilo.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada.
Como a gente já viu, o vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada mais da direita.
De novo, vale como constante porque estamos derivando em relação a , então ficamos com:
Passo 4
Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.
Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:
Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:
Podemos ajeitar mais um pouquinho!
E o grand finale da nossa derivada parcial é essa belezura aqui:
Passo 5
Agora a derivada parcial . Ela é em relação à então tudo diferente de é considerado como constante.
Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação, essa daqui
Mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!
Passo 6
Vamos começar com a primeira derivada.
Como a gente já viu, o vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:
Passo 7
Agora vamos calcular a derivada mais da direita.
Passo 8
Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.
Como temos nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:
Ó que beleza, podemos cortar os do numerador, ai vamos ficar com:
Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o em evidência, olha como a gente pode fazer isso.
Como e , ficamos com:
Então nosso resultado pode ser escrito assim: