Exercícios Resolvidos de Transformada Inversa

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Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Faaala ai! Vamos começar essa questão de derivadas parciais para ficar fera!

Pra isso a gente vai começar calculando ∂ f ∂ x . Lembra que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à x então tudo diferente de x é considerado como constante.

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Xiii... Como que eu faço essa derivada doida aí? Cara, quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

Então nossa derivada fica

x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Parece um monstro de sete cabeças, né? Kkkkk Mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo isso aí e vai ficar mais tranquilo.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada.

∂ x 3 + y 2 ∂ x

Como a gente já viu, o y vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:

∂ x 3 + y 2 ∂ x = 3 x 2

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada mais da direita.

∂ x 2 + y 2 ∂ x

De novo, y   vale como constante porque estamos derivando em relação a x , então ficamos com:

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x

Passo 4

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 2

Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Podemos ajeitar mais um pouquinho!

∂ f ∂ x = 3 x 4 - 2 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

E o grand finale da nossa derivada parcial ∂ f ∂ x é essa belezura aqui:

⇒ ∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 5

Agora a derivada parcial ∂ f ∂ y . Ela é em relação à y então tudo diferente de y é considerado como constante.

Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação, essa daqui

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a y , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Passo 6

Vamos começar com a primeira derivada.

∂ x 3 + y 2 ∂ y

Como a gente já viu, o x vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:

∂ x 3 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 7

Agora vamos calcular a derivada mais da direita.

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 8

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 2

Como temos 2 y nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 - y 2 x 2 + y 2 2

Ó que beleza, podemos cortar os y 2 do numerador, ai vamos ficar com:

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o x 2 em evidência, olha como a gente pode fazer isso.

Como x 3 = x 2 ⋅ x e x 2 = 1 ⋅ x 2 , ficamos com:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Então nosso resultado pode ser escrito assim:

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2