Exercícios Resolvidos de Vetores

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/2

Determine o valor da soma vetorial V = V 1 + V 2 e do ângulo θ x que V faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

Passo 1

Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.

O vetor V 1 fica:

V 1 = 27 c o s 30 ° i + 27 s e n 30 ° j = 23,3 i + 13,5 j

E quanto vale o ângulo que o vetor V 2 faz com x positivo?

Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:

Tirando o arco tangente desse triângulo:

a r c t g 4 3 = 53,1 °

Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:

θ 2 = 180 - 53,1 ° = 126,87 °

Assim:

V 2 = 21 cos 126,87 ° i + 21 s e n 126,87 ° j = - 12,6 i + 16,8 j

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:

V = V 1 + V 2 = 23,3 - 12,6 i + 13,5 + 16,8 j = 10,7 i + 30,3 j

Passo 3

O vetor resultante faz um ângulo θ x com x :

Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:

θ x = a r c t g 30,3 10,7 70,5 °

É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:

Passo 4

Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180 ° :

Assim:

180 = 53,1 + 30 + θ v e t o r e s θ v e t o r e s = 96,9 °

Assim, usando a regra do paralelogramo, conseguimos determinar o módulo de V :

V = 21 2 + 27 2 + 2.21.27 . cos 96,9 ° = 32,1

Resposta

V = 10,7 i + 30,3 j

V = 32,1

θ x = 70,5 °

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