Variável Aleatória Discreta

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Teoria

Uma variável aleatória é discreta quando o conjunto de valores que ela pode assumir for um conjunto enumerável e finito. Por exemplo, qual é a probabilidade de jogar um dado e cair o número 6?

O lançamento de um dado pode resultar em
O lançamento de um dado pode resultar em

Nesse caso sabemos que o dado pode assumir os valores e . Ou seja, temos uma quantidade finita de possibilidades e elas também são enumeráveis! Bora ver um exemplo pra entender como isso funciona na prática

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Exemplo: Duas moedas são lançadas de forma independente, qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara?

Nesse exemplo a variável aleatória discreta vai ser a quantidade de vezes que pode sair cara nesse experimento! Bora ver como isso funciona? 👇

Passo 1: Escrever o espaço amostral

Aqui a gente vai escrever todas as possibilidades de resultado, vamos considerar como “cara” e como “coroa”. Dessa forma temos:

Ou seja, pode sair:

  • Cara nas duas moedas;
  • Cara na primeira e coroa na segunda;
  • Coroa na primeira e cara na segunda ou
  • Coroa nas duas moedas

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Passo 2: Identificar a variável aleatória discreta

Vamos chamar a variável aleatória discreta de que será o número de caras que saem nos dois lançamentos. poderá assumir os seguintes valores:

Passo 3: Calcular a Probabilidade de Cada Variável Aleatória

A probabilidade de assumir cada valor desse é:

Montamos uma tabelinha com a quantidade de caras que pode sair nos lançamentos e a probabilidade de cada possibilidade.

Tabela de probabilidade para cada variável aleatória discreta.
Tabela de probabilidade para cada variável aleatória discreta.

Passo 3: Calcular a Probabilidade de

Nesse caso somamos a probabilidade de cair apenas uma cara, com a probabilidade de caírem duas caras.

Ou seja, a probabilidade de cair pelo menos uma cara é igual a .

Agora vamos praticar com mais exercícios?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem reposição, e defina v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

Vamos lá! Temos ao todo 8 bolas, sendo:

3 vermelhas e 5 pretas

Tirando três bolas sem reposição, podemos ter (lembrando que a v.a. X   conta o número de bolas pretas retiradas):

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Certo?

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos:

Passo 2

1º caso: X = 3

O único jeito de termos três bolas pretas é:

P P P

Pra calcular essa probabilidade, vamos fazer da seguinte forma:

Pra primeira bola retirada, temos 5 pretas de um total de 8 bolas, então a probabilidade de a primeira ser preta será de 5 8

Agora, já tendo retirado a primeira bola e ela sendo preta, temos 4 bolas pretas de um total de 7 bolas, então a probabilidade de a segunda bola ser preta agora é de 4 7

Usando o mesmo raciocínio, pra terceira bola temos que a probabilidade será de 3 6

Agora é só multiplicar tudo (queremos a probabilidade da primeira ser preta e a segunda ser preta e a terceira ser preta):

P X = 3 = 5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

Passo 3

2º caso: X = 2

Agora vai mudar um pouquinho a conta. É o seguinte: pra gente ter duas bolas pretas, concorda que os resultados possíveis são

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando a probabilidade de cada um deles que nem no passo anterior, temos o seguinte:

P P P V =   5 8 ⋅ 4 7 ⋅ 3 6 = 0,178

P P V P =   5 8 ⋅ 3 7 ⋅ 4 6 = 0,178

P V P P =   3 8 ⋅ 5 7 ⋅ 4 6 = 0,178

Agora é só somar os três (podemos ter duas bolas pretas ou do primeiro jeito ou do segundo ou do terceiro):

P X = 2 = 3 × 0,178 = 0,534

Passo 4

3º caso: X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Fazendo o mesmo raciocínio do passo anterior, temos:

P X = 1 = 0,269

Passo 5

4º caso: X = 0

Agora a única possibilidade é

V V V

Calculando da mesma forma que no passo 2:

P X = 0 = 3 8 . 2 7 . 1 6 = 0,0178

Passo 6

Então a distribuição de X será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Passo 1

O que o enunciado quer? A distribuição de X, que ele definiu como uma variável aleatória igual ao número de bolas pretas da nossa extração. Podemos ter:

3   b o l a s   p r e t a s → X = 3

2   b o l a s   p r e t a s → X = 2

1   b o l a   p r e t a → X = 1

n e n h u m a   b o l a   p r e t a → X = 0

Vamos olhar cada caso melhor?

Passo 2

1º caso: Nenhuma bola preta → X = 0

Nesse caso, teríamos:

V V V

Temos três bolas vermelhas de um total de 8 bolas. A probabilidade da primeira bola ser vermelha então é de 3 8 .

Como estamos repondo as bolas retiradas, a probabilidade de a segunda ser vermelha também é de 3 8 .

Mesma coisa para a terceira bola!

Então a probabilidade de as três bolas serem vermelhas é dada pela multiplicação:

P X = 0 = 3 8 . 3 8 . 3 8 = 3 8 3

Passo 3

2º caso   Apenas uma bola preta → X = 1

As possibilidades para termos 1 bola preta são:

P V V ,   V V P ,   V P V

Vamos calcular a probabilidade de cada caso usando o mesmo raciocínio do passo 2 (tomando cuidado porque temos 5 bolas pretas de um total de 8, então a probabilidade de tirar uma preta é 5 8 ):

P P V V =   5 8 . 3 8 . 3 8

P V V P =   3 8 . 3 8 . 5 8

P V P V =   3 8 . 5 8 . 3 8

Somando as três probabilidades, temos:

P X = 1 = 3 × 3 8 2 × 5 8

Passo 4

3º caso: Duas bolas pretas → X = 2

Esse caso é super parecido com o 2º. As possibilidades são:

P P V ,   P V P ,   V P P

Calculando do mesmo jeito, temos:

P X = 2 = 3 × 3 8 × 5 8 2

Passo 5

4º caso: Três bolas pretas → X = 3

Esse caso é parecido com o 1º só que agora com as bolas pretas.

P X = 3 = 5 8 . 5 8 . 5 8 = 5 8 3

Passo 6

Montando a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Suponha que uma moeda perfeita é lançada até que cara apareça pela primeira vez. Seja X o número de lançamentos até que isso aconteça. Obtenha a distribuição de X. (Observe que, nesse problema, pelo menos teoricamente, X pode assumir um número infinito de valores.)

Passo 1

Vamos lançar moedas até dar cara, ou seja, enquanto der coroa continuamos a jogar.

Podemos ter as seguintes possibilidades:

Note que não temos um limite para X, então calcularemos até certo ponto apenas.

Passo 2

1º caso: (K) →   Conseguimos K na primeira tentativa. → X = 1

P X = 1 = P K = 1 2

2º caso: (CK) Conseguimos K na segunda tentativa → X = 2

P X = 2 = P C K = P C . P K = 1 2 . 1 2 = 1 2 2

Perceba que aqui nós multiplicamos as probabilidades de quando dá C e quando dá K. Fazemos isso pois são eventos sucessivos, ocorrem um atrás do outro

3º caso: (CCK) →   Conseguimos K na terceira tentativa → X = 3

P X = 3 = P C C K = P C . P C . P K = 1 2 . 1 2 . 1 2 = 1 2 3

...

N-ésimo caso: (CCC..CK) Conseguimos K na n-ésima tentativa → X = n

P X = n = P C C … C K = P C . P C … . P C . P K = 1 2 n - 1 . 1 2 = 1 2 n

Passo 3

Construindo a tabela de distribuição de X:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento   C C C , dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento C R C temos três sequências. Defina a variável aleatória X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X ( C R R ) = 1 e Y   ( C R R ) = 2 . Obtenha as distribuições de   X e Y .

Passo 1

Vamos entender primeiro um pouco melhor essas variáveis X e Y ?

Vamos listar todos os possíveis resultados que podemos obter no lançamento de três moedas, chamando cara de C e coroa de R

Temos então oito iresultados! Cada um deles tem portanto 1 8 , ou   0,125 , de probabilidade de acontecer.

Passo 2

Para cada um dos possíveis casos, a variável X será a quantidade de caras obtidas e Y o número de sequências consecutivas. Mas o que é uma sequência consecutiva?

Sempre que tivermos resultados iguais que aconteceram um após o outro, estaremos em uma sequência, mesmo que nessa sequência só tenha um resultado.

Por exemplo, na sequência C R C , temos três sequências consecutivas, uma para o primeiro C , uma para o R e uma para o último C . Já no caso, C R R , teríamos duas sequências, uma para o C e uma para o R R . Por fim, no caso C C C , aí teríamos apenas uma sequência.

Para todos os casos, temos a seguinte tabela:

Beleza?!

E agora podemos listar as probabilidades de cada X ou Y acontecerem também! Como?

Por exemplo, X = 2 quando temos C C R , C R C ou R C C . Então:

P X = 0 = P R R R = 0,125

P X = 1 = P C R R + P R C R + P R R C = 0,375

P X = 2 = P C C R + P C R C + P R C C = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,375

P X = 3 = P C C C = 0,125

Seguindo o mesmo raciocínio para o Y , teríamos, por exemplo:

P Y = 1 = P C C C + P R R R = 0,125 + 0,125 = 0,25

P Y = 2 = P C C R + P R R C + P C R R + P R C C

P Y = 2 = 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 = 0,5

P Y = 3 = P C R C + P R C R = 0,125 + 0,125 = 0,250

Show de bola?!

Resposta

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