Diagonalização de Operadores Complexos

Teoria Completa

Como diagonalizar?

Eai galera. Agora que a gente já viu qual é a desses espaços complexos, vamos ver como eles costumam cair nas provas haha. O tema mais recorrente dentro dos espaços complexos é justamente a diagonalização de operadores, isso porque é aqui que as coisas são um pouquinho diferentes dos espaços reais.

Como diagonalizamos??

Ora, o procedimento é exatamente o mesmo dos reais: a mesma conta que já estamos cansados de fazer.

det ⁡ T - λ I = 0

Não se assuste com os i ' s não. Já aprendemos a multiplicar complexos, calculamos o determinante da mesmíssima forma.

E quando os operadores vão ser diagonalizáveis hein?

Meu amigo, aqui também é a mesma história. Precisamos que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual a sua multiplicidade algébrica. Se estamos em um espaço de dimensão n :

∑ m . g . λ = n

Agora você já deve estar pensando que eu sou louco né? Eu não tinha dito que as coisas eram um pouco diferentes?

Na verdade, básico da diagonalização é a mesma coisa. As coisas se complicam é quando a gente vai analisar uns operadores pra ver se eles são diagonalizáveis, isso vai mudar de caso pra caso e por isso é muito importante a gente pegar uma prática nos exercícios. Mas segura aí antes de ir pra eles, ainda tenho umas dicas pra passar.

Uns operadores especiais

Agora pessoal, a gente vai falar sobre uns operadores complexos importantes. São aqueles que tem uma base na qual sua matriz só tem números reais. Um jeito mais “chique” de dizer isso é assim: existe uma base B tal que T B ∈ M n ( R ) .

Resumindo: se você achar uma B , tal que T B não tem nenhum i , amigo, é desse operador que a gente tá falando.

E o que tem de especial nesse operador. Bem, acima de tudo, eles caem nas provas haha.

Mas se liga só, se λ   é um autovalor de T e v   um autovetor associado temos:

T v = λ v

T ( v ) B = T B v B = λ v B

Agora, vamos aplicar o conjugado nessa equação:

T v B - = T B v B - = λ - v b -

Veja que o T B não muda porque ela é uma matriz real!! E o que isso quer dizer?

Quer dizer que são equivalentes:

  • λ é um autovalor de T com multiplicidade algébrica n e multiplicidade geométrica m e v   é um autovetor associado
  • λ - é um autovalor de T com multiplicidade algébrica n e multiplicidade geométrica m e v -     é um autovetor associado

E isso galera, vai resolver muitos problemas. Veja por si mesmo, bora pros exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

P3 USP MAT2458. Ano: 2009. Questão 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos analisar uma relação de A 15 com A . Sabemos que i é autovalor de A de multiplicidade 2 , já que possui 2 autovetores linearmente independentes, logo - i também será autovalor de multiplicidade 2 . Podemos então dizer que existe uma matriz M tal que:

A = M i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 - i M - 1

Passo 2

Temos então que:

A 15 = M i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 - i 15   M - 1 = M i 15 0 0 0 0 i 15 0 0 0 0 - i 15 0 0 0 0 - i 15 M - 1

A 15 = M - i 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i M - 1 = - M i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 - i M - 1 = - A

A 15 = - A

Resposta

d   A 15 = - A

Exercício Resolvido #2

P3 USP MAT2458. Ano: 2010. Questão 10

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos analisar uma relação de A 6 e A 5 com A . Sabemos que 2 i é autovalor de A de multiplicidade 2 , já que possui 2 autovetores linearmente independentes, logo - 2 i também será autovalor de multiplicidade 2 . Podemos então dizer que existe uma matriz M tal que:

A = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i M - 1

Passo 2

Temos então que:

A 5 = A = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i 5 M - 1

A 5 = M 2 i 5 0 0 0 0 2 i 5 0 0 0 0 - 2 i 5 0 0 0 0 - 2 i 5 M - 1

A 5   = M 3 2 i 0 0 0 0 3 2 i 0 0 0 0 - 3 2 i 0 0 0 0 - 3 2 i M - 1 = 32 M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i M - 1 = 32 A

A 5 = 32 A

Passo 3

Temos também que:

A 6 = M 2 i 0 0 0 0 2 i 0 0 0 0 - 2 i 0 0 0 0 - 2 i 6 M - 1

A 6 = M 2 i 6 0 0 0 0 2 i 6 0 0 0 0 - 2 i 6 0 0 0 0 - 2 i 6 M - 1

A 6 = M - 64 0 0 0 0 - 64 0 0 0 0 - 64 0 0 0 0 - 64 M - 1 = - 64 M I M - 1

A 6 = - 64 M M - 1 = - 64 I

Resposta

a   A 64 = - 64 I

Exercício Resolvido #3

P3 USP MAT2458. Ano: 2008. Questão 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui, vamos ter que analisar sobre quais condições a matriz é diagonalizável. E pra isso vamos lembrar o que é necessário.

Vamos analisar o polinômio caracterísitico e ver o que rola.

Passo 2

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 1 a 0 1 - λ - b 0 b 1 - λ

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 3 + b 2 1 - λ

det ⁡ A - λ I = 1 - λ λ 2 - 2 λ + b 2 + 1

det ⁡ A - λ I = ( 1 - λ ) ( λ - 1 + i b ) ( λ - 1 - i b )

Se b ≠ 0 , teremos 3 autovalores distintos e a matriz será diagonálizável.

Agora, se b = 0 , teremos 1 como autovalor de multiplicidade 3 . Pra matriz ser diagonálizável, 1 terá que gerar um autoespaço de dimensão 3 , que nesse caso é impossível, é só olhar as alternativas haha. Fique esperto na hora da prova pras alternativas que elas podem te economizar umas contas desnecessárias.

Resposta

d   A é diagonalizável sobre C se e somente se b ≠ 0

Exercício Resolvido #4

P3 USP MAT2458. Ano: 2009. Questão 18

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui vamos considerar as afirmações sobre um operador T : C n → C n , tal que T C a n só tem números reais. A gente viu alguns resultados sobre esse tipo de operador na teoria, lembra?

Passo 2

Afirmação ( I ) :

Vamos ver se os vetores são l.i em C :

α 1 + i β 1 v 1 + … + α k + i β k v k = 0

α 1 v 1 + … + α k v k + i β 1 v 1 + … + β k v k = 0

α 1 v 1 + … + α k v k = 0 β 1 v 1 + … + β k v k = 0

E como v 1 , …   , v k   é l.i. sobre R , temos:

α 1 = … = α k = β 1 = … = β k = 0

Logo, { v 1 , … , v k } é l.i. sobre C .

Passo 3

Afirmação ( I I ) :

Aqui, a afirmação tá cheirando mal. Vamos procurar um contra-exemplo pra garantir que ela é falsa:

Seja T