Teoria Completa
Como diagonalizar?
Eai galera. Agora que a gente já viu qual é a desses espaços complexos, vamos ver como eles costumam cair nas provas haha. O tema mais recorrente dentro dos espaços complexos é justamente a diagonalização de operadores, isso porque é aqui que as coisas são um pouquinho diferentes dos espaços reais.
Como diagonalizamos??
Ora, o procedimento é exatamente o mesmo dos reais: a mesma conta que já estamos cansados de fazer.
Não se assuste com os não. Já aprendemos a multiplicar complexos, calculamos o determinante da mesmíssima forma.
E quando os operadores vão ser diagonalizáveis hein?
Meu amigo, aqui também é a mesma história. Precisamos que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual a sua multiplicidade algébrica. Se estamos em um espaço de dimensão :
Agora você já deve estar pensando que eu sou louco né? Eu não tinha dito que as coisas eram um pouco diferentes?
Na verdade, básico da diagonalização é a mesma coisa. As coisas se complicam é quando a gente vai analisar uns operadores pra ver se eles são diagonalizáveis, isso vai mudar de caso pra caso e por isso é muito importante a gente pegar uma prática nos exercícios. Mas segura aí antes de ir pra eles, ainda tenho umas dicas pra passar.
Uns operadores especiais
Agora pessoal, a gente vai falar sobre uns operadores complexos importantes. São aqueles que tem uma base na qual sua matriz só tem números reais. Um jeito mais “chique” de dizer isso é assim: existe uma base tal que .
Resumindo: se você achar uma , tal que não tem nenhum , amigo, é desse operador que a gente tá falando.
E o que tem de especial nesse operador. Bem, acima de tudo, eles caem nas provas haha.
Mas se liga só, se é um autovalor de e um autovetor associado temos:
Agora, vamos aplicar o conjugado nessa equação:
Veja que o não muda porque ela é uma matriz real!! E o que isso quer dizer?
Quer dizer que são equivalentes:
- é um autovalor de com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica e é um autovetor associado
- é um autovalor de com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica e é um autovetor associado
E isso galera, vai resolver muitos problemas. Veja por si mesmo, bora pros exercícios.
Exercício Resolvido #1
Passo 1
Precisamos analisar uma relação de com . Sabemos que é autovalor de de multiplicidade , já que possui autovetores linearmente independentes, logo também será autovalor de multiplicidade . Podemos então dizer que existe uma matriz tal que:
Passo 2
Temos então que:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Passo 1
Precisamos analisar uma relação de e com . Sabemos que 2 é autovalor de de multiplicidade , já que possui autovetores linearmente independentes, logo também será autovalor de multiplicidade . Podemos então dizer que existe uma matriz tal que:
Passo 2
Temos então que:
Passo 3
Temos também que:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Passo 1
Aqui, vamos ter que analisar sobre quais condições a matriz é diagonalizável. E pra isso vamos lembrar o que é necessário.
Vamos analisar o polinômio caracterísitico e ver o que rola.
Passo 2
Se , teremos autovalores distintos e a matriz será diagonálizável.
Agora, se , teremos como autovalor de multiplicidade . Pra matriz ser diagonálizável, terá que gerar um autoespaço de dimensão , que nesse caso é impossível, é só olhar as alternativas haha. Fique esperto na hora da prova pras alternativas que elas podem te economizar umas contas desnecessárias.
Resposta
é diagonalizável sobre se e somente se
Exercício Resolvido #4
Passo 1
Aqui vamos considerar as afirmações sobre um operador , tal que só tem números reais. A gente viu alguns resultados sobre esse tipo de operador na teoria, lembra?
Passo 2
Afirmação :
Vamos ver se os vetores são l.i em
E como é l.i. sobre , temos:
Logo, é l.i. sobre .
Passo 3
Afirmação :
Aqui, a afirmação tá cheirando mal. Vamos procurar um contra-exemplo pra garantir que ela é falsa:
Seja tal que .
Teremos e .
Vamos achar um autovetor de :
Um autovetor será então .
Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação :
Nós vimos que quando existe uma base tal que temos que, se é autovalor de , então também é autovalor.
A afirmação é verdadeira.
Resposta
Apenas as afirmações e são verdadeiras
Exercício Resolvido #5
Passo 1
Vamos ir considerando cada item até achar uma afirmação falsa.
Passo 2
Se é diagonáilizável sobre , podemos ter autovalores em . Verdadeiro
Se tivermos uma raiz complexa do polinômio caracterísitico, não conseguiremos autovalores l.i. Verdadeiro
Lembramos que para ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor tem que ser igual a multiplicidade algébrica. Nada a ver com o polinômio característico ter somente raízes reais. A implicação é falsa.
Resposta
implica .
Exercício Resolvido #6
Passo 1
Aqui temos uma típica questão de V ou F teórica. Geralmente as afirmações são independentes, e pelo menos não temos que fazer muitas contas haha.
Passo 2
Afirmação :
Vamos lembrar que achamos os autovalores resolvendo o polinômio característico Lembramos também que se um polinômio tem coeficientes reais, se é raiz também será. Mas, aqui ninguém disse nada sobre coeficientes reais. Então, por exemplo se:
Teremos autovalor , mas não é autovalor.
A afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação :
Aqui, diferente da questão anterior, eles nos dizem que existe uma base tal que só possui números reais. Vimos que nessa situação, se é autovalor de , então também é autovalor de , com a mesma multiplicidade.
Então, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação :
Nesse tipo de item, a gente tem que sentir que tá errado haha. È meio complicado mas é só pegar o jeito, ai pra garantir que estamos certos, a gente procura um contra-exemplo:
Vamos considerar tal que:
Mas:
Logo:
Logo a afirmação é falsa
Resposta
Apenas a afirmação é verdadeira.
Exercício Resolvido #7
Considere o espaço vetorial vetorial complexo e seja um operador linear tal que . Considere também as seguintes afirmações:
- Se é é um autovalor real de então a multiplicidade algébrica de é igual a 2;
- Se tem um autovalor complexo não real então é diagonalizável;
- Se é uma matriz simétrica então todos os autovalores de T são reais.
Assinale a alternativa correta:
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
- Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
- Todas as afirmações são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar as afirmações sobre um operador , tal que .
Nós já vimos algumas propriedades desses operadores certo?
Passo 2
Afirmação :
Essa é fácil: podemos ter com multiplicidade 4. Logo é falsa a afirmação.
Passo 3
Afirmação :
Se , temos 0 como autovalor de multiplicidade algébrica e geométrica 2. Logo se tivermos um autovalor teremos também o autovalor , e portanto o operador será diagonálizavel, já que a soma das multiplicidades geométricas será 4.
Passo 4
Afirmação :
Essa a gente mostra com o Teorema Espectral. Já que , tudo acontece como se não estivéssemos trabalhando com complexos, e estaremos dentro das condições do Teorema Espectral.
Resposta
Apenas as afirmações e são verdadeiras
Exercício Resolvido #8
Passo 1
Vamos analisar as afirmações sobre o operador descrito no enunciado.
Passo 2
Afirmação :
Uma condição para o operador ser diagonalizável é que a soma da dimensão dos autoespaços seja 6. Como 0, é autovalor, e , pra ser diagonlizável, devemos ter .
Logo .
Passo 3
Afirmação :
Temos autovalor de , logo e o operador não é injetor.
Passo 4
Afirmação :
Aqui ningém disse que existe uma base tal que . Logo nada garante que tenhamos autovalores conjugados.
Resposta
Apenas as afirmações e são verdadeiras
Exercício Resolvido #9
Passo 1
Aqui vamos analisar as afirmaçãoes referentes aum operador , tal que .
Vou adiantar pra vocês que a afirmação falsa é a . Mas por que ela?
Pra responder isso vamos ver primeiro como a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Vou adiantar pra vocês que a afirmação falsa é a . Mas por que ela?
Pra responder isso vamos ver primeiro como a afirmação é verdadeira.
Da afirmação temos que:
Mas:
Como , temos que sempre que Assim, a gente pode separar as partes reais e imaginárias, chegando em:
Logo é autovetor de .
Passo 3
A diferença no item é que o autovalor em questão não é real:
Logo não é autovetor de .
Resposta
Se é autovetor de associado ao autovalor , então é autovetor de