Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Determine o Determinante Jacobiano da transformação:

a )   x = u 2 + v 2   e   y = u 2 - v 2

Passo 1

Pessoal aqui é uma questão padrão quando vai avançando na área de funções de várias variáveis.

Em geral são questões bem simples de resolver ok?

Mas vamos lá, quando tu faz uma mudança de variáveis tu meio que deforma o espaço para se ajustar ao novo conjunto de variáveis.

MAS PARA TUDO, se eu deformo o espaço então a mudança de variável muda o valor da integral né mesmo?

Mas os matemáticos tão amigáveis do jeito que são, para nos ajudar (as vezes nem tanto :/) descobriram uma forma de corrigir essa deformação de formas simples e que não mude o valor das integrais....

Você sabe qual é? Vamos falar dela agora mesmo

Isso aiiiiiiiiiiiiiiiiii, é o famoso jacobiano :3

Na realidade é o determinante dele KKKK.

Bem, tem muita teoria sobre isso, mas o que nos importa aqui é como calcular. Como nos temos transformações de duas variáveis o jacobiano tem essa formulinha aqui:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Ou seja, voltamos a calcular derivadas. Iae bora lá?

Passo 2

Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:

∫ 0 2 1 x - 1 2 d x = lim A → 1 ⁡ ∫ 0 A 1 x - 1 2 d x + lim A → 1 ⁡ ∫ A 2 1 x - 1 2 d x

E para resolver vamos precisar do método da substituição para ficar algo mais claro, fazendo:

u = x - 1

d x = d u

Temos que nossas integrais ficam assim:

lim A → 1 ⁡ ∫ - 1 A - 1 1 u 2 d u + lim A → 1 ⁡ ∫ A - 1 1 1 u 2 d u

Resolvendo essas integrais polinomiais utilizando a seguinte propriedade:

1 u 2 = u - 2

Temos que:

lim A → 1 ⁡ ∫ - 1 A - 1 1 u 2 d u + lim A → 1 ⁡ ∫ A - 1 1 1 u 2 d u = lim A → 1 ⁡ { - u A - 1 - 1 - u 1 A - 1 }

Onde:

lim A → 1 ⁡ { - u A - 1 - 1 - u 1 A - 1 } = lim A → 1 ⁡ - 1 A - 1 - - - 1 - 1 - - 1 A - 1 = - 2

Resposta

A   i n t e g r a l   é   c o n v e r g e n t e   e   v a l e - 2

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Encontre o Jacobiano da transformação.
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