Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Questão 2: Calcule

∭ E   d V

Onde E é o sólido delimitado pelo elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Utilize a transformação

x = a u ,   y = b v ,   z = c w

Passo 1

Bem, é legal percebermos aqui que buscamos encontrar na verdade um volume já que integral tripla de 1 d V significa isso por natureza...

V o l E = ∭ E   d V

Esse é E é o nosso elipsoide mesmo...

Beleza! Então como vamos calcular esse volume então? Veja que o nosso problema já nos deu uma dica:

“Utilize a transformação x = a u , y = b v e z = c w .”

Então nós iremos fazer uma mudança de variáveis. Você só não deve se confundir aqui com os termos: a , b e c são constantes, enquanto u ,   v e w são as novas variáveis!

Passo 2

Em qualquer mudança, é muito importante aplicar um fator de correção o qual chamamos de Jacobiano aqui:

J u ,   v ,   w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w =

Calculando essas derivadas...

a 0 0 0 b 0 0 0 c =

Calculando o determinante, então chegamos à conclusão de que...

J u ,   v ,   w = a b c

Passo 3

Ok, e qual é a equação que delimita a variação das novas variáveis? Temos que encontra-la também...

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1               →

a u 2 a 2 + b v 2 b 2 + c w 2 c 2 = 1     →

a 2 u 2 a 2 + b 2 v 2 b 2 + c 2 w 2 c 2 = 1     →

u 2 + v 2 + w 2 = 1

OPA! Essa equação em termos das novas variáveis, nos representam uma esfera de raio 1 :

A essa esfera, vamos dar o nome de E u v w , ou seja, é a representação da região E , mas em termos das novas variáveis da mudança.

Passo 4

Com esses dados em mãos, podemos retornar a integral tripla que estamos calculando:

∭ E   d V = ∭ E   1 ⋅ d x d y d z = ∭ E u v w   1 ⋅ J u ,   v ,   w d u d v d w =

Veja que em toda mudança devemos trocar a região onde as coordenadas variam ( E → E u v w ) e também não podemos deixar de multiplicar a função que estamos integrando pelo Jacobiano.

∭ E u v w   1 ⋅ J u ,   v ,   w d u d v d w = ∭ E u v w   a b c   d u d v d w =

Como a b c são constantes...

a b c   ⋅ ∭ E u v w     d u d v d w =

Como essa integral representa o volume de E u v w (uma esfera de raio 1 )...

a b c   ⋅ v o l E u v w = a b c 4 3 π 1 3 =

4 3 a b c ⋅ π

Logo... Esse é o volume do elipsoide, saca?

∭ E   d V = 4 3 a b c ⋅ π

Resposta

4 3 a b c ⋅ π

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a) Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide x 2 / a 2 + y 2 / b 2 +z 2 / c 2 = 1 . Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .b) A Terra não é perfeitamente esférica; como
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