Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

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Enunciado

Calcule o volume do sólido delimitado pelo cilindro x , y , z ∈ R 3 ; 7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 = 16 , pelo semiespaço 3 2 x + y 2 ≥ 0 e pelos planos z = 0 e z = 1 .

Dica: usar a mudança de variáveis u = 3 2 x + y 2 ,   v = 3 2 y - x 2   e   w = z .

Passo 1

Bom, para fazer isso, vamos aplicar uma mudancinha de variáveis como o próprio enunciado nos disse. Façamos

u = 3 2 x + y 2 ,   v = 3 2 y - x 2   e   w = z .

Isso nos da que

x = 3 2 u - v 2

y = u 2 + 3 2 v

z = w

Passo 2

Como tivemos uma mudança de varáveis, é necessário que a gente calcule o Jacobiano, certo?

∂ u , v , w ∂ x , y , z = 3 2 1 2 0 - 1 2 3 2 0 0 0 1 = 1

Passo 3

Aplicando então nossas substituições

x 2 = 1 4 3 u 2 - 2 3 u v + v 2 x y = 1 4 3 u 2 + 2 u v - 3 v 2 y 2 = 1 4 u 2 + 2 3 + 3 v 2

E o cilindro vai ficar cmomo

7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 = 16

7 4 3 u 2 - 2 3 u v + v 2 - 6 3 4 3 u 2 + 2 u v - 3 v 2 + 13 4 u 2 + 2 3 u v + 3 v 2 = 16

1 4 16 u 2 + 0 u v + 64 v 2 = 16

u 2 4 + v 2 = 1

Passo 4

Pra encontrar esse volume, aqui que mora o pulo do gato. Sabemos que a altura varia entre 0 e 1, afinal de contas w = z , e lá do enunciado sabemos que varia entre zero e 1.

Sabemos pela equação anterior que encontramos que a base é uma elipse

u 2 4 + v 2 = 1 → u 2 a 2 + v 2 b 2 = 1

Onde a = 2 e b = 1 .

E temos por último do enunciado que 3 2 x + y 2 ≥ 0 , ou seja, u ≥ 0 . Isso nos da que só queremos a parte acimda de u de dentro dessa elipse

O que é a metade dela. Logo a área será dada por

A = 1 2 × a × b × π = 1 2 × 2 × 1 × π = π

Para encontrarmos então o volume, multiplicamos pela altura, que no caso é de uma unidade, já que o w varia apenas entre 0 e 1. Logo

V = 1 × π = π

Resposta

π

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