Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação – Função Hiperbólica

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Enunciado

Calcule a integral

∫ senh ⁡ x + e x 2 + senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

Passo 1

A integral da soma é a soma das integrais, então isso é igual a:

∫ senh ⁡ x + e x 2 d x + ∫ senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

Passo 2

Na primeira integral dá pra botar o 1 2 pra fora:

∫ senh ⁡ x + e x 2 d x = 1 2 ∫ senh ⁡ x + e x d x

E ainda dá pra separar em duas integrais:

1 2 ∫ senh ⁡ x d x + 1 2 ∫ e x d x

Passo 3

E a outra integral dá pra melhorar legal também:

∫ senh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x = ∫ senh ⁡ x cosh ⁡ x + cosh ⁡ x cosh ⁡ x d x

= ∫ tgh ⁡ x + 1 d x = ∫ tgh ⁡ x d x + ∫ 1 d x

Passo 4

Show, então nossa integral original virou:

1 2 ∫ senh ⁡ x d x + 1 2 ∫ e x d x + ∫ tgh ⁡ x d x + ∫ 1 d x

O que dá:

1 2 cosh ⁡ x + 1 2 e x + ln ⁡ cosh ⁡ x + x + C

Resposta

1 2 cosh ⁡ x + 1 2 e x + ln ⁡ cosh ⁡ x + x + C

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Ache a integral indefinida geral. 13 . ∫ sen ⁡ x + senh ⁡ x d x
Prove que sinh ⁡ x é uma função ímpar de x , que cosh ⁡ x é uma função par de x e verifique que isso é consistente com os gráficos na Figura 6.9 . 1 .
Encontre dy/dx. y = arcsinh ⁡ ( 1 x )
Encontre dy/dx. y = coth ⁡ ( ln ⁡ x )
Encontre dy/dx. y = sinh ⁡ ( 4 x - 8 )