Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação – Função Hiperbólica

Calcule a integral

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x

Passo 1

Pra gente resolver essa integral, vamos ter que usar a definição das funções hiperbólicas. Saca só:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ao quadrado, pra senh ⁡ x , temos:

senh 2 ⁡ x = e x - e - x e x - e - x 4

senh 2 ⁡ x = e x e x - e x e - x - e - x e x + e - x e - x 4

senh 2 ⁡ x = e 2 x - 2 + e - 2 x 4 =   e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4

senh 2 ⁡ x = 1 2 e 2 x + e - 2 x 2 - 1 2 = cosh ⁡ 2 x - 1 2

E pro cosh ⁡ x , temos:

cosh 2 ⁡ x = e x + e - x e x + e - x 4

cosh 2 ⁡ x = e x e x + e x e - x + e - x e x + e - x e - x 4

cosh 2 ⁡ x = e 2 x + 2 + e - 2 x 4 =   e 2 x + e - 2 x 4 + 2 4

cosh 2 ⁡ x = 1 2 e 2 x + e - 2 x 2 + 1 2 = cosh ⁡ 2 x + 1 2

Logo:

senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x = cosh ⁡ 2 x - 1 2 - cosh ⁡ 2 x + 1 2 = - 2 2 =   - 1

E por fim:

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x = ∫ - 1 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa ultima integral é tranquilona, a integral de uma constante vai ser uma reta! Então fechamos com:

∫ - 1 d x = - x + C

Resposta

∫ senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x d x = - x + C

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