Regra 1/3 de Simpson

Teoria Completa

Não, infelizmente esse tópico não tem nada a ver com eles!

Nós já vimos na Regra dos Trapézios que existem algumas integrais são bem chatinhas para se resolver analiticamente, é... eu sei que difícil, mas e aí, vai ficar por isso mesmo? Tipo, você vê uma integralzinha monstra e não encara??

Aaaaaaaaaaaaaaaaaah para né!!

Pra isso que existem as Integrações Numéricas, que simplesmente surgem pra nos salvar de algumas encrencas que a vida nos dá hehehe. Tipo essa aqui:

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x

Mas, chega de conversa fiada e vamos ver como é que faz pra resolver esse negócio!

Pra começar, vamos relembrar um pouquinho. Assim como a Regra dos Trapézios, a Regra 1/3 de Simpson é uma das fórmulas de Newton-Cotes fechadas que basicamente significam que que teremos fórmulas prontinhas permitindo encontrar um polinômio que interpole de f ( x ) em pontos [a,b] igualmente espaçados.

Veja bem, na Regra dos Trapézios nós fizemos aproximações da integral utilizando polinômio interpolador de Lagrange de grau 1. Agora a conversa muda um pouquinho. Vamos usar novamente a fórmula de Lagrange e com isso aproximar a função f ( x ) por um polinômio de grau 2.

Nós falamos que o polinômio aproximador deve estar contido em pontos [a,b] igualmente espaçados, vamos chamar esses espacinhos de h , então o polinômio interpolador pode ser dado por:

p 2 x = x - x 1 x - x 2 2 h 2 f x 0 + x - x 0 x - x 2 h 2 f x 1 + x - x 0 x - x 1 2 h 2 f x 2

Integrando e fazendo umas manipulações, chegamos nessa fórmula pra definir a regra de 1/3 de Simpson:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

Note que essa fórmula requer 3 pontos para ser feita! Isso porque uma parábola precisa de 3 pontos para ser perfeitamente definida. Definimos esses pontos como: x 0 = a ; x 1 = a + b 2 ; x 2 = b . Como, por exemplo:

O erro vai ser dado por:

E = - h 5 90 f 4 ξ ,   ξ ∈ x 0 , x 2

E um limitante para o erro seria:

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ x 0 , x 2 ⁡ f 4 x

Vamos reparar em duas coisas agora:

A primeira coisa: está aparecendo uma potência quinta no nosso h ! Isso significa que para um h menor que 1 , nosso erro diminui muito com relação ao último método que tinha um h 3 .

Segunda coisa: lembra que em outros métodos usávamos o valor máximo da segunda derivada? Pois é, nesse caso vamos usar derivada de ordem 4 de f x pra determinar o erro.

Ou seja, o erro dessa fórmula aproximando polinômios de grau menor ou igual a 3 é zero! Ela dá o resultado exato da integral para esses casos!

Vamos ver um outro exemplo pra começar! Vamos aproximar aquela mesma integral do último tópico:

∫ 1 2 e x d x

Temos que:

Jogando na fórmula:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

∫ a b f x d x = 0,5 3 2,7182 + 4 4,4817 + 7,3891 = 4,6723

E o erro é:

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ 1,2 ⁡ f 4 x

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ 1,2 ⁡ e x = 0,5 5 90 ∙ e 2 = 0,0025656

Na regra dos Trapézios repetidos, nós havíamos conseguido 4,6951 e o valor real é 4,6708. Nós chegamos em 4,6723!!!! É meus amigos, pensa num método eficiente.

Mas o probleminha continua sendo o mesmo que no método dos trapézios... essa fórmulinha só serve pra intervalos curtos. Pra intervalos grandes, o erro acaba sendo bem grotesco.

Mas relaxa que pra tudo tem-se um jeito. Pra solucionar vamos fazer a mesmíssima coisa, criar váaaaaaarios subintervamos pra função, nada novo sob o sol. E adivinha qual é o nome dessa técnica? Regra 1/3 de Simpson Repetida. Santa criatividade, eu hein hahahah

Bora lá?

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Uma coisa bem importante é que nesse método aproximamos a função usando parábolas né? (Polinômio de Lagrange de ordem 2 e tals), isso significa que precisamos de 3 pontos consecutivos pra traçar a parábola.

E em cada par de intervalos vamos aplicar a regra individual que vimos lá em cima.

com k = 1, ..., n/2

No final vamos chegar na aproximação:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Lembra na regra dos Trapézios, que a função aplicada em x 0   e   x n não multiplicavam por um coeficiente, e os demais termos dentro do intervalo multiplicavam? Aqui funciona quaaaaase desse jeito. Aqui funciona assim: pegamos todos os x i de i pares e multiplica por 2 , os x i de i ímpares você multiplica por 4 , e os valores que delimitam o nosso intervalo x 0   e   x n não multiplicam por nada. De resto fica tudo igual, multiplica h e divide por algum número, nesse caos é o 3. Assim:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 ∑ i = 1 i   i m p a r n - 1 f x i + 2 ∑ j = 2 j   p a r n - 2 f x j + f x n

Espero que tenha ajudado haha. Se ainda tiver confuso juro que vai ficar claro nos exercícios!

O erro agora vai ser:

E = - n h 5 2 * 90 f 4 ξ ,   ξ ∈ a , b

O limitante é dado por:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 4 x

O n 2 que aparece é o número de integrais de Simpson utilizadas.

Vamos resolver aquele exemplinho lá do começo com n = 8 :

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x

A primeira coisa que costumamos fazer é calcular os subintervalos idênticos que vão dividir nossa função. Nosso h continua sendo:

h =     x 1 -   x 0 n = 3 - 1 8 = 0,25

O h determina a distância entre um intervalo e outro sempre com base no passo anterior.

Belê, mas e agora? Agora vamos montar uma tabelinha que vai nos ajudar um montão a não perder os termos de vista. Lembra da regra dos Trapézios? É, de novo isso... eu juro que é que última vez que eu pergunto isso hahahah mas é que continua sendo a mesma coisa! Então daaaale montar tabela de novo.

Só lembrando quando colocarmos na fórmula, par com par, ímpar com ímpar. Nossa aproximação vai ser:

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 3 + f x 5 + f x 7 + 2 f x 2 + f x 4 + f x 6 + f x 8

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x ≈ 0.25 3 0 + 25.468 + 9.982 + 2 = 3.121

Ficou ainda mais próximo de π do que a aproximação pela Regra dos Trapézios Repetida que tinha dado 3.0895 ! O erro seria:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 4 x

E ≤ 8 ∙ ( 0,25 ) 5 180 ∙ max x ∈ 1,3 ⁡ - 48 ( x 2 - 6 x + 10 ) - x 2 + 6 x - 5 7 2

E ≤ 8 ∙ 0,25 5 180 ∙ - 3 8 = - 0,00001628

Olha só como esse erro é minúsculo!

Algoritmo

Mesmo esquema, vou passar o algoritmo para a Regra 1/3 de Simpson Repetida. Para que ela vire a Regra 1/3 de Simpson normal basta você dar 3 pontos para ela. Lembrando que para termos um número n par de intervalos precisamos de um número n + 1 ímpar de pontos.

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

  1. Vetor de valores x = x 0 , x 1 , … , x n
  2. Vetor de valores f x = f x 0 , f x 1 , … , f x n

Passo 2. Definimos h = x 1 - x 0

Passo 3. Definimos s o m a = 0

Passo 4. Para i de 1 a n - 1 repita o passo 5.

Passo 5. Se i for par faça o passo 6 Se for ímpar, faça o passo 7.

Passo 6. s o m a = s o m a + 2 f x i

Passo 7. s o m a = s o m a + 4 f x i

Passo 8. s o m a = s o m a + f x 0 + f x n

Passo 9. Retorne h 3 ∙ s o m a

Novamente, poderíamos adaptar esse código para entrarmos com os extremos e com o número n de intervalos ao invés dos valores de x . Uma condição interessante de se adicionar é verificarmos se n é par no começo das iterações .

Agora vamos fazer uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 5 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 5

Dê um exemplo de uma função onde a regra 1/3 de Simpson calcula o valor exato da integral.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como vimos na teoria, qualquer integral de uma função de grau igual ou menor que três tem o erro zerado quando usamos esse método.

Resposta

Qualquer polinômio de grau ≤ 3 .

Exercício Resolvido #2

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 305, exemplo 2

Seja I = ∫ 0 1 e x d x .

a Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10 . Estime o erro cometido.

b Para que valor de n