Regra 1/3 de Simpson
Teoria
Não, infelizmente esse tópico não tem nada a ver com eles!
Nós já vimos na Regra dos Trapézios que existem algumas integrais são bem chatinhas para se resolver analiticamente, é... eu sei que difícil, mas e aí, vai ficar por isso mesmo? Tipo, você vê uma integralzinha monstra e não encara??
Aaaaaaaaaaaaaaaaaah para né!!
Pra isso que existem as Integrações Numéricas, que simplesmente surgem pra nos salvar de algumas encrencas que a vida nos dá hehehe. Tipo essa aqui:
Mas, chega de conversa fiada e vamos ver como é que faz pra resolver esse negócio!
Pra começar, vamos relembrar um pouquinho. Assim como a Regra dos Trapézios, a Regra 1/3 de Simpson é uma das fórmulas de Newton-Cotes fechadas que basicamente significam que que teremos fórmulas prontinhas permitindo encontrar um polinômio que interpole de em pontos [a,b] igualmente espaçados.
Veja bem, na Regra dos Trapézios nós fizemos aproximações da integral utilizando polinômio interpolador de Lagrange de grau 1. Agora a conversa muda um pouquinho. Vamos usar novamente a fórmula de Lagrange e com isso aproximar a função por um polinômio de grau 2.
Nós falamos que o polinômio aproximador deve estar contido em pontos [a,b] igualmente espaçados, vamos chamar esses espacinhos de , então o polinômio interpolador pode ser dado por:
Integrando e fazendo umas manipulações, chegamos nessa fórmula pra definir a regra de 1/3 de Simpson:
Note que essa fórmula requer pontos para ser feita! Isso porque uma parábola precisa de pontos para ser perfeitamente definida. Definimos esses pontos como: . Como, por exemplo:
O erro vai ser dado por:
E um limitante para o erro seria:
Vamos reparar em duas coisas agora:
A primeira coisa: está aparecendo uma potência quinta no nosso ! Isso significa que para um menor que , nosso erro diminui muito com relação ao último método que tinha um .
Segunda coisa: lembra que em outros métodos usávamos o valor máximo da segunda derivada? Pois é, nesse caso vamos usar derivada de ordem de pra determinar o erro.
Ou seja, o erro dessa fórmula aproximando polinômios de grau menor ou igual a é zero! Ela dá o resultado exato da integral para esses casos!
Vamos ver um outro exemplo pra começar! Vamos aproximar aquela mesma integral do último tópico:
Temos que:
Jogando na fórmula:
E o erro é:
Na regra dos Trapézios repetidos, nós havíamos conseguido 4,6951 e o valor real é 4,6708. Nós chegamos em 4,6723!!!! É meus amigos, pensa num método eficiente.
Mas o probleminha continua sendo o mesmo que no método dos trapézios... essa fórmulinha só serve pra intervalos curtos. Pra intervalos grandes, o erro acaba sendo bem grotesco.
Mas relaxa que pra tudo tem-se um jeito. Pra solucionar vamos fazer a mesmíssima coisa, criar váaaaaaarios subintervamos pra função, nada novo sob o sol. E adivinha qual é o nome dessa técnica? Regra 1/3 de Simpson Repetida. Santa criatividade, eu hein hahahah
Bora lá?
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Uma coisa bem importante é que nesse método aproximamos a função usando parábolas né? (Polinômio de Lagrange de ordem 2 e tals), isso significa que precisamos de 3 pontos consecutivos pra traçar a parábola.
E em cada par de intervalos vamos aplicar a regra individual que vimos lá em cima.
com k = 1, ..., n/2
No final vamos chegar na aproximação:
Lembra na regra dos Trapézios, que a função aplicada em não multiplicavam por um coeficiente, e os demais termos dentro do intervalo multiplicavam? Aqui funciona quaaaaase desse jeito. Aqui funciona assim: pegamos todos os de pares e multiplica por , os de ímpares você multiplica por , e os valores que delimitam o nosso intervalo não multiplicam por nada. De resto fica tudo igual, multiplica e divide por algum número, nesse caos é o 3. Assim:
Espero que tenha ajudado haha. Se ainda tiver confuso juro que vai ficar claro nos exercícios!
O erro agora vai ser:
O limitante é dado por:
O que aparece é o número de integrais de Simpson utilizadas.
Vamos resolver aquele exemplinho lá do começo com :
A primeira coisa que costumamos fazer é calcular os subintervalos idênticos que vão dividir nossa função. Nosso continua sendo:
O determina a distância entre um intervalo e outro sempre com base no passo anterior.
Belê, mas e agora? Agora vamos montar uma tabelinha que vai nos ajudar um montão a não perder os termos de vista. Lembra da regra dos Trapézios? É, de novo isso... eu juro que é que última vez que eu pergunto isso hahahah mas é que continua sendo a mesma coisa! Então daaaale montar tabela de novo.
Só lembrando quando colocarmos na fórmula, par com par, ímpar com ímpar. Nossa aproximação vai ser:
Ficou ainda mais próximo de do que a aproximação pela Regra dos Trapézios Repetida que tinha dado ! O erro seria:
Olha só como esse erro é minúsculo!
Algoritmo
Mesmo esquema, vou passar o algoritmo para a Regra 1/3 de Simpson Repetida. Para que ela vire a Regra 1/3 de Simpson normal basta você dar pontos para ela. Lembrando que para termos um número par de intervalos precisamos de um número ímpar de pontos.
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
- Vetor de valores
- Vetor de valores
Passo 2. Definimos
Passo 3. Definimos
Passo 4. Para de a repita o passo 5.
Passo 5. Se for par faça o passo 6 Se for ímpar, faça o passo 7.
Passo 6.
Passo 7.
Passo 8.
Passo 9. Retorne
Novamente, poderíamos adaptar esse código para entrarmos com os extremos e com o número de intervalos ao invés dos valores de . Uma condição interessante de se adicionar é verificarmos se é par no começo das iterações .
Agora vamos fazer uns exercícios!
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Lista 5 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 5
Dê um exemplo de uma função onde a regra 1/3 de Simpson calcula o valor exato da integral.
Passo 1
Como vimos na teoria, qualquer integral de uma função de grau igual ou menor que três tem o erro zerado quando usamos esse método.
Resposta
Qualquer polinômio de grau .
Exercício Resolvido #2
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 305, exemplo 2
Seja .
Calcule uma aproximação para usando a regra 1/3 de Simpson com . Estime o erro cometido.
Para que valor de teríamos erro inferior a ?
Passo 1
Como , temos . Fazendo a tabelinha:
Jogando na fórmula:
Passo 2
Para estimar o erro cometido usamos a fórmula:
A derivada quarta de é o próprio , e ele tem valor máximo no intervalo em , onde temos . Além disso, sabemos que e que . Logo:
É importante ressaltarmos que trabalhamos com apenas três casas decimais nas contas então nossa aproximação de certamente não tem o erro que estimamos! Esse limitante do erro considera que fizemos as contas com todas as casas decimais possíveis.
Passo 3
Repare que usando obtivemos um erro da ordem de ! Isso quer dizer que para termos um erro menor que podemos diminuir bastante esses intervalos!
Sabemos que . Logo, nossa fórmula do erro pode ser reescrita como:
Substituindo os valores que já temos:
Como deve ser par e inteiro, temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 314, exercício 15
Usando a regra de Simpson, calcule o valor de com precisão de 4 casas decimais. Compare o resultado com o valor de .
Passo 1
Primeiro temos que encontrar o número mínimo de intervalos que nos garante uma precisão de casas decimais, ou seja, . Então:
A derivada quarta de é dada por:
E o valor máximo do módulo dessa derivada no intervalo acontece em , onde temos .
Por fim, usando a relação temos:
E como deve ser inteiro e par,
Passo 2
Agora vamos aproximar a integral usando intervalos, ou seja, . A tabela fica:
O resultado exato seria . Ou seja, o erro foi de:
Que é menor que como esperávamos.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 7
Use a regra 1/3 de Simpson para integrar a função abaixo entre e com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões e maior precisão). Justifique. Trabalhe com três casas decimais.
Passo 1
Você tem que se lembrar do seguinte: a regra 1/3 de Simpson aproxima integrais sem erro nenhum de polinômios de grau menor ou igual a !
E como nossa função é subdividida em polinômios de grau e , usando o número mínimo de divisões necessárias para aplicarmos a regra já estamos garantindo a precisão máxima.
Sendo assim, precisamos dividir essa função em intervalos. Dois intervalos para aproximarmos o polinômio e dois para aproximarmos o !
Passo 2
Montando a tabela desse problema vamos ter:
Observe que como no ponto temos uma descontinuidade, usei os limites laterais para que a conta desse certinha! Se não usássemos esse artifício nosso resultado final certamente não seria sem erro nenhum!
Na prática o que estamos fazendo é dividindo nossa integral dessa forma:
E resolvemos cada uma dessas integrais pela regra 1/3 de Simpson:
Resposta
Obtemos o menor esforço computacional com intervalos e erro igual a .
Exercício Resolvido #5
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 6
Determinar , a distância entre e , para que se possa avaliar com erro inferior a pela regra de Simpson.
Passo 1
O limitante para o erro pela regra 1/3 de Simpson é dado por:
Calculando a derivada de ordem :
E o valor de maior módulo que assume no intervalo é . Por último substituímos . Sendo assim, temos:
Passo 2
Ué, passo 2 por quê? Não acabou não?
Não! A gente quase se esquece de um detalhe importantíssimo! O nosso tem que ser inteiro e par! O nesse caso vale:
Então, implica em . E o próximo número par inteiro maior que é . Logo,
E esse é o nosso ! Pegadinha safada essa né?
Resposta
Exercício Resolvido #6
Lista de Exercícios - FEI
Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral pela regra de simpson com erro inferior a 0,001
Passo 1
Fala pessoinha, se você deu uma olhada no nosso conteúdo de método do trapézio, você viu esse exercício lá. Agora vamos ver que pelo método de simpson vai precisar de bem menos pontos para o mesmo erro
Nesses casos onde o professor pergunta pra gente qual o número de pontos necessário, a gente vai se apegar com força na fórmula do limitante de erro, que é essa aqui oh:
Com ela a gente vai conseguir calcular o passo que é o “h” e já já te mosto como o h leva a gente até o número de pontos.
Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar! Essa é mole...
No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz ser máximo é x=0 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:
Se o erro é sempre menor ou igual a e queremos limitar ele à 0.001, Então podemos escrever:
Passo 2
Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:
O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. E veja só
O número de pontos necessários k é o número de intervalos mais um, viu só como o h salvou nossa vida!!! Nesse exercício o intervalo de integração é