Regra 1/3 de Simpson

Teoria Completa

Não, infelizmente esse tópico não tem nada a ver com eles!

Nós já vimos na Regra dos Trapézios que existem algumas integrais são bem chatinhas para se resolver analiticamente, é... eu sei que difícil, mas e aí, vai ficar por isso mesmo? Tipo, você vê uma integralzinha monstra e não encara??

Aaaaaaaaaaaaaaaaaah para né!!

Pra isso que existem as Integrações Numéricas, que simplesmente surgem pra nos salvar de algumas encrencas que a vida nos dá hehehe. Tipo essa aqui:

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x

Mas, chega de conversa fiada e vamos ver como é que faz pra resolver esse negócio!

Pra começar, vamos relembrar um pouquinho. Assim como a Regra dos Trapézios, a Regra 1/3 de Simpson é uma das fórmulas de Newton-Cotes fechadas que basicamente significam que que teremos fórmulas prontinhas permitindo encontrar um polinômio que interpole de f ( x ) em pontos [a,b] igualmente espaçados.

Veja bem, na Regra dos Trapézios nós fizemos aproximações da integral utilizando polinômio interpolador de Lagrange de grau 1. Agora a conversa muda um pouquinho. Vamos usar novamente a fórmula de Lagrange e com isso aproximar a função f ( x ) por um polinômio de grau 2.

Nós falamos que o polinômio aproximador deve estar contido em pontos [a,b] igualmente espaçados, vamos chamar esses espacinhos de h , então o polinômio interpolador pode ser dado por:

p 2 x = x - x 1 x - x 2 2 h 2 f x 0 + x - x 0 x - x 2 h 2 f x 1 + x - x 0 x - x 1 2 h 2 f x 2

Integrando e fazendo umas manipulações, chegamos nessa fórmula pra definir a regra de 1/3 de Simpson:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

Note que essa fórmula requer 3 pontos para ser feita! Isso porque uma parábola precisa de 3 pontos para ser perfeitamente definida. Definimos esses pontos como: x 0 = a ; x 1 = a + b 2 ; x 2 = b . Como, por exemplo:

O erro vai ser dado por:

E = - h 5 90 f 4 ξ ,   ξ ∈ x 0 , x 2

E um limitante para o erro seria:

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ x 0 , x 2 ⁡ f 4 x

Vamos reparar em duas coisas agora:

A primeira coisa: está aparecendo uma potência quinta no nosso h ! Isso significa que para um h menor que 1 , nosso erro diminui muito com relação ao último método que tinha um h 3 .

Segunda coisa: lembra que em outros métodos usávamos o valor máximo da segunda derivada? Pois é, nesse caso vamos usar derivada de ordem 4 de f x pra determinar o erro.

Ou seja, o erro dessa fórmula aproximando polinômios de grau menor ou igual a 3 é zero! Ela dá o resultado exato da integral para esses casos!

Vamos ver um outro exemplo pra começar! Vamos aproximar aquela mesma integral do último tópico:

∫ 1 2 e x d x

Temos que:

Jogando na fórmula:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

∫ a b f x d x = 0,5 3 2,7182 + 4 4,4817 + 7,3891 = 4,6723

E o erro é:

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ 1,2 ⁡ f 4 x

E ≤ h 5 90 ∙ max x ∈ 1,2 ⁡ e x = 0,5 5 90 ∙ e 2 = 0,0025656

Na regra dos Trapézios repetidos, nós havíamos conseguido 4,6951 e o valor real é 4,6708. Nós chegamos em 4,6723!!!! É meus amigos, pensa num método eficiente.

Mas o probleminha continua sendo o mesmo que no método dos trapézios... essa fórmulinha só serve pra intervalos curtos. Pra intervalos grandes, o erro acaba sendo bem grotesco.

Mas relaxa que pra tudo tem-se um jeito. Pra solucionar vamos fazer a mesmíssima coisa, criar váaaaaaarios subintervamos pra função, nada novo sob o sol. E adivinha qual é o nome dessa técnica? Regra 1/3 de Simpson Repetida. Santa criatividade, eu hein hahahah

Bora lá?

Regra 1/3 de Simpson Repetida

Uma coisa bem importante é que nesse método aproximamos a função usando parábolas né? (Polinômio de Lagrange de ordem 2 e tals), isso significa que precisamos de 3 pontos consecutivos pra traçar a parábola.

E em cada par de intervalos vamos aplicar a regra individual que vimos lá em cima.

com k = 1, ..., n/2

No final vamos chegar na aproximação:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Lembra na regra dos Trapézios, que a função aplicada em x 0   e   x n não multiplicavam por um coeficiente, e os demais termos dentro do intervalo multiplicavam? Aqui funciona quaaaaase desse jeito. Aqui funciona assim: pegamos todos os x i de i pares e multiplica por 2 , os x i de i ímpares você multiplica por 4 , e os valores que delimitam o nosso intervalo x 0   e   x n não multiplicam por nada. De resto fica tudo igual, multiplica h e divide por algum número, nesse caos é o 3. Assim:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 ∑ i = 1 i   i m p a r n - 1 f x i + 2 ∑ j = 2 j   p a r n - 2 f x j + f x n

Espero que tenha ajudado haha. Se ainda tiver confuso juro que vai ficar claro nos exercícios!

O erro agora vai ser:

E = - n h 5 2 * 90 f 4 ξ ,   ξ ∈ a , b

O limitante é dado por:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 4 x

O n 2 que aparece é o número de integrais de Simpson utilizadas.

Vamos resolver aquele exemplinho lá do começo com n = 8 :

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x

A primeira coisa que costumamos fazer é calcular os subintervalos idênticos que vão dividir nossa função. Nosso h continua sendo:

h =     x 1 -   x 0 n = 3 - 1 8 = 0,25

O h determina a distância entre um intervalo e outro sempre com base no passo anterior.

Belê, mas e agora? Agora vamos montar uma tabelinha que vai nos ajudar um montão a não perder os termos de vista. Lembra da regra dos Trapézios? É, de novo isso... eu juro que é que última vez que eu pergunto isso hahahah mas é que continua sendo a mesma coisa! Então daaaale montar tabela de novo.

Só lembrando quando colocarmos na fórmula, par com par, ímpar com ímpar. Nossa aproximação vai ser:

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 3 + f x 5 + f x 7 + 2 f x 2 + f x 4 + f x 6 + f x 8

∫ 1 3 4 - x - 3 2 d x ≈ 0.25 3 0 + 25.468 + 9.982 + 2 = 3.121

Ficou ainda mais próximo de π do que a aproximação pela Regra dos Trapézios Repetida que tinha dado 3.0895 ! O erro seria:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 4 x

E ≤ 8 ∙ ( 0,25 ) 5 180 ∙ max x ∈ 1,3 ⁡ - 48 ( x 2 - 6 x + 10 ) - x 2 + 6 x - 5 7 2

E ≤ 8 ∙ 0,25 5 180 ∙ - 3 8 = - 0,00001628

Olha só como esse erro é minúsculo!

Algoritmo

Mesmo esquema, vou passar o algoritmo para a Regra 1/3 de Simpson Repetida. Para que ela vire a Regra 1/3 de Simpson normal basta você dar 3 pontos para ela. Lembrando que para termos um número n par de intervalos precisamos de um número n + 1 ímpar de pontos.

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

  1. Vetor de valores x = x 0 , x 1 , … , x n
  2. Vetor de valores f x = f x 0 , f x 1 , … , f x n

Passo 2. Definimos h = x 1 - x 0

Passo 3. Definimos s o m a = 0

Passo 4. Para i de 1 a n - 1 repita o passo 5.

Passo 5. Se i for par faça o passo 6 Se for ímpar, faça o passo 7.

Passo 6. s o m a = s o m a + 2 f x i

Passo 7. s o m a = s o m a + 4 f x i

Passo 8. s o m a = s o m a + f x 0 + f x n

Passo 9. Retorne h 3 ∙ s o m a

Novamente, poderíamos adaptar esse código para entrarmos com os extremos e com o número n de intervalos ao invés dos valores de x . Uma condição interessante de se adicionar é verificarmos se n é par no começo das iterações .

Agora vamos fazer uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 5 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 5

Dê um exemplo de uma função onde a regra 1/3 de Simpson calcula o valor exato da integral.

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Passo 1

Como vimos na teoria, qualquer integral de uma função de grau igual ou menor que três tem o erro zerado quando usamos esse método.

Resposta

Qualquer polinômio de grau ≤ 3 .

Exercício Resolvido #2

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 305, exemplo 2

Seja I = ∫ 0 1 e x d x .

a Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10 . Estime o erro cometido.

b Para que valor de n teríamos erro inferior a 10 - 3 ?

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Passo 1

a Como n = 10 , temos h = 1 10 = 0.1 . Fazendo a tabelinha:

Jogando na fórmula:

I ≈ 0.1 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 3 + … + f x 9 + 2 f x 2 + f x 4 + … + f x 8 + f x 10

I ≈ 0.1 3 1 + 4 8.578 + 2 6.761 + 2.718

I ≈ 1.7184

Passo 2

Para estimar o erro cometido usamos a fórmula:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

A derivada quarta de e x é o próprio e x , e ele tem valor máximo no intervalo 0,1 em x = 1 , onde temos f i v 1 = 2.718 . Além disso, sabemos que n = 10 e que h = 0.1 . Logo:

E ≤ 10 0.1 5 180 ∙ 2.718

E ≤ 1.51 × 10 - 6

É importante ressaltarmos que trabalhamos com apenas três casas decimais nas contas então nossa aproximação de I certamente não tem o erro que estimamos! Esse limitante do erro considera que fizemos as contas com todas as casas decimais possíveis.

Passo 3

b Repare que usando n = 10 obtivemos um erro da ordem de 10 - 6 ! Isso quer dizer que para termos um erro menor que 10 - 3 podemos diminuir bastante esses intervalos!

Sabemos que h = b - a n . Logo, nossa fórmula do erro pode ser reescrita como:

E ≤ b - a 5 180 n 4 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Substituindo os valores que já temos: 1 5 180 n 4 ∙ 2.718 ≤ 10 - 3

n 4 ≥ 15.1

n ≥ 1.97

Como n deve ser par e inteiro, temos que:

n ≥ 2

Resposta

a I ≈ 1.7184

E ≤ 1.51 × 10 - 6

b n ≥ 2

Exercício Resolvido #3

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 314, exercício 15

Usando a regra de Simpson, calcule o valor de ∫ 1 2 d x x com precisão de 4 casas decimais. Compare o resultado com o valor de ln ⁡ 2 .

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Passo 1

Primeiro temos que encontrar o número mínimo de intervalos que nos garante uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, 10 - 4 . Então:

n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x ≤ 10 - 4

A derivada quarta de f x é dada por:

f x = 1 x

f ' x = - 1 x 2

f ' ' x = 2 x 3

f 3 x = - 6 x 4

f 4 x = 24 x 5

E o valor máximo do módulo dessa derivada no intervalo 1,2 acontece em x = 1 , onde temos f 4 1 = 24 .

Por fim, usando a relação h = b - a n temos:

1 5 180 n 4 ∙ 24 ≤ 10 - 4

n 4 ≥ 1333.333

n ≥ 6.043

E como n deve ser inteiro e par,

n ≥ 8

Passo 2

Agora vamos aproximar a integral usando 8 intervalos, ou seja, h = 1 8 = 0.125 . A tabela fica:

∫ 1 2 d x x ≈ 0.125 3 1 + 4 2.7649 + 2 2.0381 + 0.5

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

O resultado exato seria ln ⁡ 2 = 0.69314718 . Ou seja, o erro foi de:

E = 0.69316 - 0.69314718 = 0.1282 × 10 - 4

Que é menor que 10 - 4 como esperávamos.

Resposta

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

ln ⁡ 2 = 0.69314718

E = 0.69316 - 0.69314718 = 0.1282 × 10 - 4

Exercício Resolvido #4

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 7

Use a regra 1/3 de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões e maior precisão). Justifique. Trabalhe com três casas decimais.

f x = x 2 ,       s e   0 ≤ x ≤ 1 x + 2 3 ,       s e   1 < x ≤ 2

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Passo 1

Você tem que se lembrar do seguinte: a regra 1/3 de Simpson aproxima integrais sem erro nenhum de polinômios de grau menor ou igual a 3 !

E como nossa função é subdividida em polinômios de grau 2 e 3 , usando o número mínimo de divisões necessárias para aplicarmos a regra já estamos garantindo a precisão máxima.

Sendo assim, precisamos dividir essa função em 4 intervalos. Dois intervalos para aproximarmos o polinômio x 2 e dois para aproximarmos o x + 2 3 !

Passo 2

Montando a tabela desse problema vamos ter:

Observe que como no ponto 1 temos uma descontinuidade, usei os limites laterais para que a conta desse certinha! Se não usássemos esse artifício nosso resultado final certamente não seria sem erro nenhum!

Na prática o que estamos fazendo é dividindo nossa integral dessa forma:

∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x + 2 3 d x

E resolvemos cada uma dessas integrais pela regra 1/3 de Simpson:

∫ 0 2 f x d x = 0.5 3 0 + 4 0.25 + 1 + 0.5 3 27 + 4 42.875 + 64 = 44.083

Resposta

Obtemos o menor esforço computacional com 4 intervalos e erro igual a 0 .

∫ 0 2 f x d x = 44.083

Exercício Resolvido #5

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 6

Determinar h , a distância entre x i e x i + 1 , para que se possa avaliar ∫ 0 π / 2   cos ⁡ x d x com erro inferior a ε = 10 - 3 pela regra de Simpson.

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Passo 1

O limitante para o erro pela regra 1/3 de Simpson é dado por:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Calculando a derivada de ordem 4 :

f x = cos ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f 3 x = sin ⁡ x

f 4 x = cos ⁡ x

E o valor de maior módulo que cos ⁡ x assume no intervalo 0 , π 2 é 1 . Por último substituímos n = b - a h . Sendo assim, temos:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

E ≤ b - a h 4 180 ∙ 1 ≤ 10 - 3

h 4 ≤ 0.11459

h ≤ 0.581819

Passo 2

Ué, passo 2 por quê? Não acabou não?

Não! A gente quase se esquece de um detalhe importantíssimo! O nosso n tem que ser inteiro e par! O n nesse caso vale:

n = b - a h = π 2 0.581819 = 2.7

Então, h ≤ 0.581819 implica em n ≥ 2.7 . E o próximo número par inteiro maior que 2.7 é 4 . Logo,

h ≤ b - a n = π 2 4 = π 8

E esse é o nosso h ! Pegadinha safada essa né?

Resposta

h ≤ π 8

Exercício Resolvido #6

Lista de Exercícios - FEI

Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x pela regra de simpson com erro inferior a 0,001

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Passo 1

Fala pessoinha, se você deu uma olhada no nosso conteúdo de método do trapézio, você viu esse exercício lá. Agora vamos ver que pelo método de simpson vai precisar de bem menos pontos para o mesmo erro

Nesses casos onde o professor pergunta pra gente qual o número de pontos necessário, a gente vai se apegar com força na fórmula do limitante de erro, que é essa aqui oh:

E ≤ n h 5 180 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f i v ( x )

Com ela a gente vai conseguir calcular o passo que é o “h” e já já te mosto como o h leva a gente até o número de pontos.

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar! Essa é mole...

f ' x = - s e n x

f ' ' x = - c o s ⁡ ( x )