Regra dos Trapézios

Resumo Completo

Introdução

Coeeee rapaziada! Vamos entrar agora em um novo assunto, Integração Numérica!

Então, sabe nas provas de cálculo quando os professores põem umas funções desgraçadas de difíceis pra você integrar? Essa é uma situação onde seria interessante você integrar numericamente haha (se pudesse levar um computador para a prova né ).

Além de funções que possuem uma integral muito difícil de se resolver, existem algumas que são impossíveis de se resolver analiticamente! Outra situação possível é termos uma série de pontos da nossa função e querermos encontrar a integral dela sem conhecê-la.

Todas as situações que eu citei acima são problemas que ficam fáceis de se resolver usando integração numérica!

A ideia é a seguinte, aproximamos a nossa função f x por um polinômio e encontramos a integral dele que é molezinha de se achar.

Fórmulas de Newton-Cotes

Agora a próxima pergunta é, como aproximar nossa função f x ? Então, fazemos isso usando lá a nossa teoria de Interpolação! Não se esqueceu não né? haha

Os métodos que vamos estudar aqui são as fórmulas de Newton-Cotes baseadas na interpolação por Lagrange com nós igualmente espaçados. Na prática você não precisa saber usar Lagrange, só é interessante que saiba que ele está por trás disso. Vão ter fórmulas prontas pra todos os métodos!

Vamos começar pelo primeiro polinômio de Lagrange que vai nos dar a Regra dos Trapézios!

Regra dos Trapézios

Nesse caso, nós aproximamos a função por uma reta. O polinômio de primeiro grau de Lagrange para nós igualmente espaçados de h é:

p 1 x = x - x 1 - h f x 0 + x - x 0 h f x 1

Se integrarmos isso chegamos a:

a b f x d x b - a 2 f a + f b = h 2 f a + f b

Mas vamos dar uma olhadinha no gráfico, e entender o que vamos fazer

Percebe que estamos pegando alguns pontos da f(x), ligando eles com retas e calculando a área de cada trapézio formado abaixo da curva vermelha? É somente isso, pode comemorar!!

Mas vamos nos concentrar primeiro em apenas um trapézio. Lembra da fórmula pra calcular a área de um trapézio?

A = B + b * h 2

Pra gente aqui em integral, o h, que seria a altura, vai ser a distância entre dois valores consecutivos no eixo x, tipo X0 e X1. O “B”, que seria base maior vai ser f(X1) e o “b”, que seria a base menor f(X0). Muito legal né? Ficaríamos com:

I = f X 0 + f X 1 * h 2

Sendo esse o primeiro pedacinho da nossa integral

E o erro é dado por:

E = - h 3 12 f ' ' ξ ,   ξ a , b

Esse ξ é um valor que não sabemos e vem lá da parte de interpolação. O que podemos fazer, nesse caso, é encontrar um limitante para o erro dessa forma:

E h 3 12 max x a , b f ' ' x

No gráfico podemos entender o erro como a área que fica entre o trapézio e a f(x).

Se liga nesse exemplo:

Vamos aproximar a integral abaixo:

0 5.5 sin x 3 + 3 d x = 16.5971

Percebeu que formou um trapézio? Aplicando a fórmula, temos:

0 5.5 sin x 3 + 3 d x 5.5 2 f 0 + f 5.5 = 2.75 3 + 2.765 = 15.85

Não deu tão próximo assim, mas foi razoável né haha. No entanto dá pra ver que isso pode dar muito errado!

Por exemplo, aproximar a seguinte integral:

1 3 4 - x - 3 2 d x = π

Vai ficar assim:

1 3 4 - x - 3 2 d x 2

Ficou um belo cocô! Deu muito longe de π !

E é aí que entra a Regra dos Trapézios Repetida!

Regra dos Trapézios Repetida

Vou resumir a história pra você. O que a gente vai fazer é dividir o intervalo a , b em n partes e aplicar a regra dos trapézios em cada intervalo.

Pois é, só isso, não é nenhuma solução super inovadora não .

Então agora nosso h passa a ser h n . Fazendo algumas brincadeiras matemáticas com integrais a gente chega nessa fórmula:

a b f x d x h 2 f x 0 + 2 f x 1 + + 2 f x n - 1 + f x n

Lembrando que o h agora é o tamanho dos subintervalinhos! E o erro vai ser dado por:

E = - n h 3 f ' ' ξ 12 ,   ξ a , b

Novamente podemos dar um limitante para o erro:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

Onde esse n que apareceu, representa quantas vezes usamos a regra do trapézio.

Se a gente resolver o exemplo aqui de cima com uma tabela de 9 pontos, então teremos

n = 8 subintervalos (n = pontos -1 hehehe), portanto h = 3 - 1 8 = 0.25 , teremos:

Uma forma prática de fazer essa conta é somar todos os valores da função em todos os pontos:

i = 0 8 f x i = 13.358

Agora multiplica essa soma por 2 e tira os extremos f x 0 e f x 8 :

2 13.358 - f x 0 - f x 8 = 24.716

Então ficamos com:

1 3 4 - x - 3 2 d x 0.25 2 24.716 = 3.0895

Bem mais próximo de π né?? Ficaria assim:

Claramente nossa aproximação melhorou e muito! Só pra finalizar agora chegamos na parte do algoritmo!

Algoritmo

Eu vou passar aqui o algoritmo para a Regra dos Trapézios Repetida. Repare, no entanto, que para ela virar a Regra dos Trapézios simples é só você dar só dois pontos pra ela haha.

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

  1. Vetor de valores x = x 0 , x 1 , , x n
  2. Vetor de valores f x = f x 0 , f x 1 , , f x n

Passo 2. Definimos h = x 1 - x 0

Passo 3. Definimos s o m a = 0

Passo 4. Para i de 0 a n repita o passo 5.

Passo 5. s o m a = s o m a + 2 f x i

Passo 6. s o m a = s o m a - f x 0 - f x n

Passo 7. Retorne h 2 s o m a

E é isso aí, bem tranquilo esse né? Claro que dependendo das suas necessidades, seria possível adaptar esse código. Por exemplo, ao invés de entrar com os valores de x você poderia entrar com os extremos e com o número n de intervalos. Mas esse tipo de mudança é bem tranquila de se fazer.

Bora fazer uns exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Lista 5 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 4

Dê um exemplo de uma função onde a regra dos trapézios calcula o valor exato da integral.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, essa regra aproxima nossa função por uma reta, certo? Então ela vai calcular o valor exato para a integral de qualquer polinômio de grau 1 ! Porque nesses casos, não teremos erro em nossa aproximação.

Resposta

Qualquer polinômio de grau 1 .

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 5

Qual o erro máximo cometido na aproximação de 0 4 3 x 3 - 3 x + 1 d x pela regra dos Trapézios com quatro subintervalos?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos que:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

E nesse caso n = 4 e h = 4 4 = 1 . Além disso, temos que:

f x = 3 x 3 - 3 x + 1 f ' ' x = 18 x

Sendo assim, o valor máximo de f ' ' x no intervalo 0,4 fica em x = 4 e vale f ' ' 4 = 72 . Substituindo todas essas informações na fórmula:

E 4 1 3 12 72

E 24

Um erro bem grande né!

Resposta

E 24

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 301, exemplo 1

Seja I = 0 1 e x d x

a Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos Trapézios repetida. Estime o erro cometido.

b Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10 - 3 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Primeiro vamos montar uma tabelinha dessa função! Como ele quer uma divisão em 10 subintervalos teremos h = 1 10 = 0.1 . Ficamos então com o seguinte:

Já até botei a soma no final porque sei que vamos precisar haha.

Aplicando a fórmula:

0 1 e x d x h 2 f x 0 + 2 f x 1 + �� + 2 f x n - 1 + f x n

Como temos a tabelinha acima com a soma no final, olha só a malandragem que faremos! Adicionaremos e depois subtrairemos h 2 f x 0 e h 2 f x n na nossa aproximação:

0 1 e x d x h 2 f x 0 + 2 f x 1 + + 2 f x n - 1 + f x n + ( f x 0 - f x 0 + f x n - f x n )

0 1 e x d x h 2 2 f x 0 + 2 f x 1 + + 2 f x n - 1 + 2 f x n - f x 0 - f x n

0 1 e x d x h 2 2 f x 0 + f x 1 + + f x n - 1 + f x n S o m a   - f x 0 - f x n

0 1 e x d x 0.1 2 2 19.056 - 1 - 2.718 = 1.7197

Passo 2

E agora podemos encontrar um limitante para o erro que é dado por:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

E 10 0.1 3 12 max x 0,1 e x

Como o máximo de e x no intervalo 0,1 acontece em x = 1 e tem como valor 2.718 , o erro fica:

E 0.002265

Passo 3

b Queremos que o erro seja menor que 10 - 3 . Pegando aquela mesma fórmula do erro, temos:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

E n 1 n 3 12 2.718

10 - 3 1 12 n 2 2.718

n 2 226.5

Tomando só os valores positivos de n :

n 15.05

Logo, o menor valor de n para termos esse limitante de erro é n = 16 .

Resposta

a I 1.7197

E 0.002265

b n = 16

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 311, exercício 1

Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de a , b .

a 1 2 e x d x

b 1 4 x d x

c 2 14 d x x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a A primeira integral é:

1 2 e x d x

Para 4 divisões:

Temos que h = 1 4 = 0.25

Montamos a nossa tabelinha:

E aplicamos a fórmula:

1 2 e x d x 0.25 2 2 23.834 - 2.718 - 7.389 = 4.695

Só isso! Nada demais né?

Passo 2

E para 6 divisões:

Agora h = 1 6 = 0.167 . Novamente montamos nossa tabelinha:

E aplicamos a fórmula:

1 2 e x d x 0.167 2 2 33.143 - 2.718 - 7.389 = 4.691

Passo 3

b Próxima integral!

1 4 x d x

Com 4 divisões:

Temos que h = 3 4 = 0.75 . Jogando na tabela:

Agora na fórmula:

1 4 x d x 0.75 2 2 7.707 - 1 - 2 = 4.655

Passo 4

Para 6 divisões:

Agora h = 3 6 = 0.5 . É só passar pra tabela:

E mandar bala na fórmula:

1 4 x d x 0.5 2 2 10.823 - 1 - 2 = 4.662

Passo 5

Eu sei, de novo?! Sim, mas é a última integral, seja forte! Haha

2 14 d x x

Para 4 divisões:

h = 12 4 = 3 . Na tabela:

Na fórmula:

2 14 d x x 3 2 2 2.077 - 0.707 - 0.267 = 4.770

Passo 6

Último passo! Agora para 6 divisões:

Temos h = 12 6 = 2 . Jogando na tabela:

E na fórmula:

2 14 d x x 2 2 2 2.841 - 0.707 - 0.267 = 4.708

Resposta

a 4 divisões: 1 2 e x d x 4.695

6 divisões:

1 2 e x d x 4.691

b 4 divisões:

1 4 x d x 4.655

6 divisões:

1 4 x d x 4.662

c 4 divisões:

2 14 d x x 4.770

6 divisões:

2 14 d x x 4.708

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 2

Usando as integrais do exercício anterior com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 10 - 5 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

As integrais do último exercício foram:

a 1 2 e x d x

b 1 4 x d x

c 2 14 d x x

E a fórmula do limitante do erro que vamos usar para elas é:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

Com um limitante de 10 - 5 e sabendo que h = b - a n , temos:

n b - a n 3 12 max x a , b f ' ' x 10 - 5

Passo 2

a Temos:

f x = e x f ' ' x = e x

O máximo de e x no intervalo 1,2 é e 2 = 7.389 . E b - a = 2 - 1 = 1 . Na fórmula:

1 12 n 2 7.389 10 - 5

n 2 61575

n 248.14

Logo, o menor n para obtermos o erro desejado é 249 .

Imagina fazer isso tudo na mão!

Passo 3

b Temos:

f x = x f ' ' x = - 1 4 x 3 / 2

Como ela é sempre crescente e negativa, o módulo máximo de f ' ' x no intervalo 1,4 acontece em x = 1 , onde f ' ' x = - 1 4 . E nesse caso b - a = 4 - 1 = 3 . Substituindo:

3 3 12 n 2 - 1 4 10 - 5

n 2 56250

n 237.17

Então, o menor n para um erro de 10 - 5 é n = 238 .

Passo 4

c Por último temos:

f x = 1 x f ' ' x = 3 4 x 5 / 2

O máximo do módulo da derivada segunda no intervalo 2,14 ocorre em x = 2 , onde f ' ' x = 0.1326 . E temos b - a = 14 - 2 = 12 . Na fórmula:

12 3 12 n 2 0.1326 10 - 5

n 2 1909440

n 1381.82

Então agora o menor n seria 1382 !

Que bom que computadores existem!

Resposta

a n = 249 .

b n = 238 .

c n = 1382 .

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 3

Calcule o valor aproximado de 0 0.6 d x 1 + x com três casas decimais de precisão usando a Regra dos Trapézios.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra começo de conversa se o cara quer três casas decimais de precisão então queremos um erro menor ou igual a 10 - 3 ! Com isso conseguimos achar o número de divisões n pela fórmula:

E n h 3 12 max x a , b f ' ' x

Temos que h = 0.6 n e sabemos que o limitante do erro é 10 - 3 . Além disso, temos que:

f x = 1 1 + x f ' ' x = 2 x + 1 3

Sendo assim, o valor máximo de f ' ' x no intervalo 0,0.6 fica em x = 0 e vale f ' ' 0 = 2 . Substituindo todas essas informações na fórmula:

0.216 12 n 2 2 10 - 3

n 2 36

n 6

Logo, o menor valor de n (que obviamente é o que vamos usar pra termos menos trabalho) que garante uma precisão de 10 - 3 é n = 6 .

Passo 2

Como n = 6 , temos que h = 0.6 6 = 0.1 . Montando nossa tabela:

Jogando na fórmula:

0 0.6 d x 1 + x 0.1 2 2 5,517 - 1 - 0 , 625 = 0,470

Resposta

0 0.6 d x 1 + x 0 , 470

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Lista de Exercícios - FEI

Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral 0 π 3 cos x d x pela regra do trapézio com erro inferior a 0,001

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Fala galera, bom nesses casos onde o professor pergunta pra gente qual o número de pontos necessário, a gente vai se apegar com força na fórmula do limitante de erro, que é essa aqui oh:

E n h 3 12 *   max x [ a , b ] f ' ' ( x )

Com ela a gente vai conseguir calcular o passo que é o “h” e já já te mosto como o h leva a gente até o número de pontos.

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada segunda no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar! Essa é mole...

f ' x = - s e n x

f ' ' x = - c o s ( x )

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f ' ' x | ser máximo é x=0 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E n h 3 12

Se o erro é sempre menor ou igual a n h 3 12 e queremos limitar ele à 0.001, Então podemos escrever: n h 3 12 < 0.001  

Passo 2

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. E veja só

k = n + 1

O número de pontos necessários k é o número de intervalos mais um, viu só como o h salvou nossa vida!!! Nesse exercício o intervalo de integração é [ 0 ,   π / 3 ] então...

h = π 3 n

Passo 3

Substituindo na nossa inequação:

n ( π 3 n ) 3 12 < 0.001

Resolvendo ficamos com...

π 3 27 n 2 < 0.012

Invertendo de ambos os lados 27 n 2 π 3 > 0.012

Isolando n 2 ficamos com

n 2 > π 3 * 83.3333 27

Elevando a meio ambos os lados

n > 9.7825

Passo 4

Com n deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso n = 10 .

Como a pergunta foi o número de pontos e não de intervalos (pegadinha do professor), é só somar 1 ao número de intervalos n .

Resposta

k = 11 pontos

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Elaboração própria

Seja f ( x ) uma função linear que se deseja integrar no intervalo [d,e] através do método do trapézio. Justifique matemáticamente porquê este método é tão bom quanto qualquer outro com relação ao erro para este caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Logo de cara esse enunciado trás a primeira dica né, é uma função linear, logo podemos imaginar

f x = a x + b

E a fórmula do limitante de erro é essa aqui:

E n h 3 12 *   max x [ a , b ] f ' ' ( x )

Olhando pra fórmula dá pra gente sacar que ela depende da derivada segunda da f ( x ) nesse caso, para uma função linear, a derivada seria zero, e portanto o erro também.

Resposta

Não se comete erro ao integrar a f x  

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