Regra dos Trapézios

Teoria Completa

Introdução

Chega mais, tudo certinho? Vamos começar um assunto novo chamado Integração Numérica:

Veja bem, existem integrais que são muito difíceis e até mesmo impossíveis de resolver analiticamente, daquelas que só de olhar pensamos : “Cara, ta achando que eu sou uma calculadora?”.

Em outros casos, o valor de f ( x ) é conhecido só em alguns pontos da função e geralmente em um intervalo definido de [a,b]. Já que ninguém conhece a expressão analítica de f ( x ) não é possível calcular o valor da integral.

∫ a b f ( x ) d x

Tá, mas e daí? Aí é que entra a nossa digníssima Integração Numérica. Ela serve basicamente pra simplificar aquelas integrais monstruosas ou de funções desconhecidas. Tipo a de cima, cujo gráfico poderia ser:

Então, nós aproximamos a função de f ( x ) por um polinômio no intervalo [a,b] e achamos a integral do PRÓPRIO POLINÔMIO.

Bem mais fácil do que torrar os miolos resolvendo integrais de outros planetas né? Continua comigo, vamos no passo a passo que daqui a pouco você vai estar resolvendo integrais complexas de olhos fechados.

Regra dos Trapézios Simples

Agora nós chegamos em um ponto legal! Vamos começar a aproximar nossa função com um polinômio simples de primeiro grau de Lagrange com pontos igualmente espaçados entre si, com n=1 e de passo h . Onde n é o número de iterações do método, ou seja, número de vezes que vamos aplicar o método, e h é o passo, ou seja, o espaço entre dois pontos consecutivos que usaremos.

Quando   h é igual a :

h =   x 1 -   x 0

Então, acompanha comigo: Igualamos a integral a um polinômio interpolador, certo?

∫ x 0 x 1 f ( x ) d x =   ∫ x 0 x 1 P 1 ( x ) d x

Esse polinômio simples é uma equaçãozinha da reta que une os dois pontos do intervalo x 0 até x 1 , dada por:

P 1 x = f x 0 . x - x 1 x 0 - x 1 + f x 1 . x - x 0 x 1 - x 0

A integral do polinômio que interpola a função em x 0 e x 1 é:

∫ x 0 x 1 [ f ( x 0 ) . x - x 1 x 0 - x 1 + f x 1 . x - x 0 x 1 - x 0 ]   d x

Com o resultado da integral do polinômio chegamos na seguinte equação :

I T = h 2 [ f x 0 + f ( x 1 ) ]

Agora, vamos pra um exemplo pra entender direitinho? Calcularemos a seguinte integral utilizando a regra dos trapézios simples:

∫ 1 2 e x d x = 4,67077

Vamos dar uma olhadinha no gráfico da função no intervalo de 1 até 2? Consegue imaginar o que estamos fazendo?

Pensa comigo, nós pegamos dois pontos da função e colocamos uma reta ligando os dois em a e b, conseguiu enxergar a fórmula geométrica do trapézio que aparece quando fazemos isso? Legal né!

Relembrando um pouquinho: Por definição Integral é a área sob a curva, e nós vamos nos concentrar na área do Trapézio pra solucionar a integral, lembra da fórmula para calcular a Área de um Trapézio?

A = h B + b 2

Diz aí, fórmula da área do trapézio não é beeeeem parecida com a Integral? No nosso caso a altura ( h ) é a distância no intervalo [a,b] no eixo x em que a função está inserida e também o nosso passo já visto anteriormente, o trapézio menor é o f ( x 0 )   e o trapézio maior é o f ( x 1 ) .

Bem tranquilo né! Vamos tentar resolver, a primeira coisa que vamos calcular é o h , sabendo que a função exponencial está em um intervalo de [1,2].

h = 2 - 1 = 1

O próximo passo é substituir os valores na equação da Integral do polinômio:

I T = h 2 [ f x 0 + f ( x 1 ) ]

I   = 1 2 ⋅ e 1 + e 2 = 5,03668

No início do exemplo, eu mostrei que o valor real da Integral é 4,67077 e quando calculamos pela regra dos trapézios simples chegamos em um valor beeeeem diferente de 5,03668. Mas qual é o problema nisso tudo?

Esse método do trapézio simples vai funcionar quando tivermos um intervalo [a,b] relativamente pequeno, aí a aproximação da integral é aceitável. Se o intervalo tem uma amplitude muito maior, utilizar a aproximação com a área de um único trapézio não é indicada.

E como vamos quantificar o erro desse método? Ele pode ser determinado por:

E T =   - h 3 12 . f ' ' ( c )

Quando:

c ∈ [ x 0 , x 1 ]

Sendo E um valor que obtemos de interpolações, podemos encontrar um limitante para o erro dessa forma:

E T ≤ h 3 12 M 2

Onde h é o passo e M2 é o valor máximo da segunda derivada da função:

M 2 =   x ϵ a , b M á x f ' ' ( x )

Vamos voltar lá no gráfico e dar uma olhadinha na reta que liga os dois pontos e perceba que existe um espaço vazio (em verde) que não está sendo considerado, entendemos o erro com a área entre o trapézio e a f ( x ) .

Regra dos Trapézios Repetida

Aí nós chegamos na regra dos Trapézios Repetida que é mais adequada quando temos um intervalo [a,b] de grande amplitude. Então nós somamos a área de n trapézios, cada um definido em seu subintervalo, aplicamos a regra do trapézio para descobrir a área em caaaaaada intervalo, sacou?

Vamos analisar o gráfico daquela mesma função que calculamos pela regra dos trapézios simples, só que agora vamos analisar a área de cada um dos subintervalos. Perceba que agora temos uma curva com n trapézios dentro dela.

Isso significa que a integral, ou seja, a área sob a curva é dada pela soma das integrais definidas em cada intervalinho com amplitude h , que será tanto a altura dos trapézios quanto o passo. Logo, nosso   h passa a ser:

h =     x n -   x 0 n

Ou seja, os pontos estão igualmente espaçados entre si.

Brincando com as integrais, chegamos na seguinte equação:

I T R = h 2 [ f ( x 0 ) + 2 f x 1 + 2 f ( x 2 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Fica a dica para lembrar da fórmula: se pegarmos a área de dois trapézios desse tipo:

h f x 0 + f x 1 2 + h f x 1 + f x 2 2 = h 2 f x 0 + 2 f x 1 + f x 2

Se pegarmos 3 deles:

h f x 0 + f x 1 2 + h f x 1 + f x 2 2 + h f x 2 + f x 3 2 =

= h 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + f x 3

Então, repare que todos os valores da função, menos o primeiro e o segundo, ficam multiplicados por 2. 😉

Voltando.

Se h é o tamanho dos subintervalos, nosso erro vai ser limitado por:

E T R ≤ n h 3 12 M 2

Onde n é o número de vezes que utilizamos a regra do trapézio.

Vamos resolver o exemplo utilizando agora a regra dos trapézios repetido agora que você já está mandando bem, definiremos o valor de n =4.

∫ 1 2 e x d x

Vamos retomar, a idéia é mesma que usamos na regra dos trapézios simples. Lembra qual foi a primeira coisa que calculamos? Show! Vamos calcular o h para determinar a amplitude dos intervalos:

h =     x n -   x 0 n

h =   2 - 1 4 = 0,25

É muito comum em cálculo numérico utilizarmos de métodos iterativos, ou seja, que dependem do passo anterior. E nesse caso não é diferente. Vamos pensar que temos iterações (k) que vão de 0 até n. O valor de k=0 é sempre referente ao   x 0 e k=n sempre referente ao   x n .

Beleza, mas o que isso significa?

Significa que os outros subintervalos então dentro de 0 até n, mas precisam ser calculados. E é aí que entra o h , ele determina a distância entre um intervalo e outro sempre com base no passo anterior .

Vamos montar uma tabelinha que aí você já vai entender o que eu estou querendo dizer:

Observe na tabela que temos as iterações k, e a cada iteração acrescentamos h para descobrir o x que será aplicado na função.

I T R = h 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + 2 f x 2 + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Então, é só substituir na fórmula:

I T R   = 0,25 2 ⋅ e 1 + 2 e 1,25 + e 1,5 + e 1,75 + e 2 = 4,69508

O resultado já está se aproximando do valor real né, que é 4,67077? Show de bola! Isso significa que quando mais subintervalos n eu colocar mais próximo o valor fica do real. Com isso, vamos calcular o erro:

E T R ≤ n h 3 12 M 2

n h 3 12 M 2 = 4 0,25 3 12 M 2

Calculando M 2 :

M 2 =   x ϵ 1,2 M á x e x ' ' = e 2

Dessa forma:

4 0,25 3 12 M 2 = 4 0,25 3 12 e 2 = 0,03848

E T R ≤ n h 3 12 M 2 = 0,03848

A teoria fica por aqui, #PartiuExercícios ?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 5 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 4

Dê um exemplo de uma função onde a regra dos trapézios calcula o valor exato da integral.

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Passo 1

Bom, essa regra aproxima nossa função por uma reta, certo? Então ela vai calcular o valor exato para a integral de qualquer polinômio de grau ≤ 1 ! Porque nesses casos, não teremos erro em nossa aproximação.

Resposta

Qualquer polinômio de grau ≤ 1 .

Exercício Resolvido #2

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 5

Qual o erro máximo cometido na aproximação de ∫ 0 4 3 x 3 - 3 x + 1 d x pela regra dos Trapézios com quatro subintervalos?

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Passo 1

Nesse exercício trabalharemos com a função f :

f x =   3 x ³ - 3 x + 1

Vamos relembrar a fórmula do erro:

E ≤ n h 3 12 ∙ f ' ' x  

Onde n é a quantidade de subintervalos e h é o passo, ou seja, a diferença entre dois pontos consecutivos do intervalo.

Além disso, temos que o intervalo [ a , b ]   de f ( x ) é:

a = 0 e b = 4 .

Passo 2

Bom, como o enunciado pede para fazermos 4 subintervalos, n = 4 e, para achar o passo h , temos que dividir o intervalo de 0 a 4 em quatro partes iguais, ou seja:

h = 4 - 0 4 = 1

Agora que descobrimos o passo, vamos calcular agora a segunda derivada da função:

f x = 3 x 3 - 3 x + 1

f   ' x = 9 x 2 - 3

f ' ' x = 18 x

Vamos calcular o valor máximo de f ' ' x no intervalo 0,4 .

Como f ' ' x = 18 x é uma função linear crescente, quanto maior o x maior f ' ' x . Logo o máximo fica em x = 4 e vale f ' ' 4 = 72 . Substituindo todas essas informações na fórmula:

E ≤ 4 1 3 12 ∙ 72

E ≤ 24

Um erro bem grande né!

Resposta

E ≤ 24

Exercício Resolvido #3

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 301, exemplo 1

Seja I = ∫ 0 1 e x d x

a Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos Trapézios repetida. Estime o erro cometido.

b Qual o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10 - 3 ?

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Passo 1

a Primeiro vamos montar uma tabelinha dessa função! Como ele quer uma divisão em 10 subintervalos teremos h = 1 10 = 0.1 . Ficamos então com o seguinte:

Já até botei a soma no final porque sei que vamos precisar haha.

Aplicando a fórmula:

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 f x 0 + 2 f x 1 + �� + 2 f x n - 1 + f x n

Como temos a tabelinha acima com a soma no final, olha só a malandragem que faremos! Adicionaremos e depois subtrairemos h 2 ∙ f x 0 e h 2 ∙ f x n na nossa aproximação:

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + f x n + ( f x 0 - f x 0 + f x n - f x n )

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + 2 f x n - f x 0 - f x n

∫ 0 1 e x d x ≈ h 2 2 f x 0 + f x 1 + … + f x n - 1 + f x n ⏟ S o m a   ∑ - f x 0 - f x n

∫ 0 1 e x d x ≈ 0.1 2 2 19.056 - 1 - 2.718 = 1.7197

Passo 2

E agora podemos encontrar um limitante para o erro que é dado por:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

E ≤ 10 0.1 3 12 ∙ max x ∈ 0,1 ⁡ e x

Como o máximo de e x no intervalo 0,1 acontece em x = 1 e tem como valor 2.718 , o erro fica:

E ≤ 0.002265

Passo 3

b Queremos que o erro seja menor que 10 - 3 . Pegando aquela mesma fórmula do erro, temos:

E ≤ n h 3 12 max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

E ≤ n 1 n 3 12 ∙ 2.718

10 - 3 ≥ 1 12 n 2 ∙ 2.718

n 2 ≥ 226.5

Tomando só os valores positivos de n :

n ≥ 15.05

Logo, o menor valor de n para termos esse limitante de erro é n = 16 .

Resposta

a I ≈ 1.7197

E ≤ 0.002265

b n = 16

Exercício Resolvido #4

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 311, exercício 1

Calcule as integrais a seguir pela regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de a , b .

a ∫ 1 2 e x d x

b ∫ 1 4 x d x

c ∫ 2 14 d x x

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Passo 1

a A primeira integral é:

∫ 1 2 e x d x

Para 4 divisões:

Temos que h = 1 4 = 0.25

Sabemos que a regra dos trapézios reduzida é dada por:

∫ a b f x d x ≈ h 2 [ f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 )   + f x n

Percebeu que todo mundo ali foi multiplicado por 2, menos o primeiro e último termo? Bom, isso quer dizer que se multiplicar a soma dos elementos por 2, vamos ter:

2 ∑ i = 0 n f ( x i ) = 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + 2 f ( x n )

E se subtrairmos o primeiro e o último termo dessa equação:

2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + 2 f x n - f x 0 - f x n = f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + 2 f x n + f ( x n )

Ou seja:

∫ a b f x d x ≈ h 2 2 ∑ i = 0 n f x i   - f x 0 - f x n

Isso facilita a nossa vida, porque ao invés de ficar multiplicando um monte de valores por 2, basta multiplicar a soma dos números e , dessa soam, subtrair o primeiro e último termo.

Montamos a nossa tabelinha:

E aplicamos a fórmula:

∫ 1 2 e x d x ≈ 0.25 2 2 23.834 - 2.718 - 7.389 = 4.695

Só isso! Nada demais né?

Passo 2

E para 6 divisões:

Agora h = 1 6 = 0.167 . Novamente montamos nossa tabelinha:

E aplicamos a fórmula:

∫ 1 2 e x d x ≈ 0.167 2 2 33.143 - 2.718 - 7.389 = 4.691

Passo 3

b Próxima integral!

∫ 1 4 x d x

Com 4 divisões:

Temos que h = 3 4 = 0.75 . Jogando na tabela:

Agora na fórmula:

∫ 1 4 x d x ≈ 0.75 2 2 7.707 - 1 - 2 = 4.655

Passo 4

Para 6 divisões:

Agora h = 3 6 = 0.5 . É só passar pra tabela:

E mandar bala na fórmula:

∫ 1 4 x d x ≈ 0.5 2 2 10.823 - 1 - 2 = 4.662

Passo 5

Eu sei, de novo?! Sim, mas é a última integral, seja forte! Haha

∫ 2 14 d x x

Para 4 divisões:

h = 12 4 = 3 . Na tabela:

Na fórmula:

∫ 2 14 d x x ≈ 3 2 2 2.077 - 0.707 - 0.267 = 4.770

Passo 6

Último passo! Agora para 6 divisões:

Temos h = 12 6 = 2 . Jogando na tabela:

E na fórmula:

∫ 2 14 d x x ≈ 2 2 2 2.841 - 0.707 - 0.267 = 4.708

Resposta

a 4 divisões: ∫ 1 2 e x d x ≈ 4.695

6 divisões:

∫ 1 2 e x d x ≈ 4.691

b 4 divisões:

∫ 1 4 x d x ≈ 4.655

6 divisões:

∫ 1 4 x d x ≈ 4.662

c 4 divisões:

∫ 2 14 d x x ≈ 4.770

6 divisões:

∫ 2 14 d x x ≈ 4.708

Exercício Resolvido #5

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 312, exercício 2

Usando as integrais do exercício anterior com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 10 - 5 ?

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Passo 1

As integrais do último exercício foram:

a ∫ 1 2 e x d x

b ∫ 1 4 x d x

c ∫ 2 14 d x x

E a fórmula do limitante do erro que vamos usar para elas é:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

Com um limitante de 10 - 5 e sabendo que h = b - a n , temos:

n b - a n 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x ≤ 10 - 5

Passo 2

a Temos:

f x = e x ⇒ f ' ' x = e x

O máximo de e x no intervalo 1,2 é e 2 = 7.389 . E b - a = 2 - 1 = 1 . Na fórmula:

1 12 n 2 7.389 ≤ 10 - 5

n 2 ≥ 61575

n ≥ 248.14

Logo, o menor n para obtermos o erro desejado é 249