Teoria

Introdução

Fala galera! No último tópico estudamos o Método da Eliminação de Gauss e, de certo modo, vamos continuar estudando ele nesse tópico.

Lembra de quando a gente estava aplicando lá o algoritmo e aparecia um 0 no lugar onde devia ter o pivô? Isso é um belo de um problema porque a gente ia acabar fazendo uma divisão por zero! Bom, quando isso acontecia bastava a gente trocar as linhas pra evitar o problema né? Mas e se isso acontecer com seu computador? Ele tem um algoritmo pré-definido a seguir, que vamos aprender agorinha mesmo.

Outro problema é quando temos um número muito próximo de zero, o que acarreta uma maior propagação de erros. Por exemplo:

0.0030 53.14 8.573 - 8.390 53.17 44.52

A solução desse sistema é dada por x 1 , x 2 = 10,1 . Vamos ver o que acontece quando o resolvemos normalmente utilizando aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos. O multiplicador será dado por:

8.573 0.003 = 2857 . 6 ¯

Arredondando para o sistema de 4 dígitos ficamos com 2858 . Assim, fazendo os cálculos, temos:

0.0030 53.13 0 - 151900 53.16 - 152000

Resolvendo o sistema:

- 151900 x 2 = - 152000

x 2 ≈ 1.001

Que é de fato um valor bem próximo de 1 . No entanto, ao substituirmos na primeira equação,

x 1 = 53.17 - 53.14 ∙ 1.001 0.003 = - 7.713

O que deu bem distante do nosso valor correto 10 ! Isso porque o valor muito pequeno 0.003 no denominador multiplicou aquele errinho de 0.001 e fez ele ficar muito grande.

Então precisamos de uma forma de contornar esse problema no nosso algoritmo, e é aí que entram as estratégias de pivoteamento.

Pivoteamento Parcial

O que fazemos aqui é o seguinte: a cada etapa em que vamos definir o pivô nós olhamos todos os números abaixo dele e escolhemos como pivô o que tiver maior módulo, fazendo a troca das linhas! Isso faz com que os multiplicadores estejam entre 0 e 1 evitando que os erros por arredondamento aumentem absurdamente. Vamos ver um exemplo:

3 3 4 2 3 1 - 9 3 6 2 12 2 2 - 5 2 5 16 12 16 - 3

O primeiro pivô seria o 3 . Mas como estamos aplicando o pivoteamento parcial precisamos comparar os elementos abaixo dele. E como podemos ver, o de maior módulo é o 6 . Logo, fazemos a troca das linhas:

Prosseguindo com a Eliminação de Gauss, chegaríamos ao momento de escolher o próximo pivô:

6 2 12 2 0 0 - 15 2 0 2 - 2 1 0 - 5.67 - 2 4.33 16 4 8 - 8.33

Dessa vez pra piorar ainda temos o pivô igual à zero! Escolhendo o de maior módulo abaixo dele ficamos com:

Deu pra pegar o espírito né? Lembrando que levamos em conta o módulo como podemos ver no exemplo acima.

Algoritmo do Pivoteamento Parcial

O Pivoteamento Parcial faz uma pequena alteração na Fase 1 do Método de Gauss, na parte da eliminação. A retrosubstituição não é alterada então não iremos repetir seu algoritmo aqui. Segue o algoritmo da fase da eliminação com pivoteamento parcial:

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

a. Matriz quadrada A n × n (em geral uma matriz é representada como uma lista de listas em programação).

b. Vetor solução b 1 × n (normalmente representado por uma lista).

Passo 2. Percorremos as linhas de A com uma variável i (de 1 a n ).

Passo 3. l = i + 1

Passo 4. p o s M a i o r = i

Passo 5. m a i o r = a i i

Passo 6. Se a l i > m a i o r , então m a i o r = a l i e p o s M a i o r = l .

Passo 7. l = l + 1

Passo 8. Enquanto l ≤ n , volte para o Passo 6. Caso contrário, continue.

Passo 9. Troque as linhas i e p o s M a i o r de A e b .

Passo 10. Escolher pivô da i -ésima linha e armazenar na variável p .

Passo 11. Para cada ‘ i ’, percorremos as linhas de i + 1 até n com uma variável k .

Passo 12. Definimos o multiplicador m i k = a k i p .

Passo 13. Para cada ' k ' , b k = b k - m i k ∙ b i

Passo 14. Para cada ‘ k ’, percorremos as colunas de i até n com uma variável j .

Passo 15. a k j = a k j - m i k ∙ a i j

O Algoritmo é exatamente o mesmo, sendo acrescentados apenas os passos 3 a 9 para fazer o pivoteamento quando necessário.

Pivoteamento Completo

O propósito do Pivoteamento Completo é exatamente o mesmo do parcial. A diferença aqui é que além de trocar as linhas ele também pode trocar as colunas! Na comparação de módulo ele leva em conta todos os valores das colunas e linhas seguintes ao pivô. Vamos ver no exemplo que fica mais claro:

3 3 4 2 3 1 - 9 3 6 2 12 2 2 - 5 2 5 16 1 2 1 6 - 3

Fazendo o Pivoteamento Completo, temos:

Conseguiu perceber o que aconteceu? Nós trocamos as linhas dos números circulados de lugar e depois trocamos as colunas de lugar também! O cuidado que temos que ter é que ao fazer isso também estamos trocando a ordem das nossas variáveis!!!! E isso é extremamente importante, não se esqueça disso! Tipo pensa em forma de equação:

3 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 16 6 x 1 + 2 x 2 + 12 x 3 + 2 x 4 = 16

Trocando as linhas:

6 x 1 + 2 x 2 + 12 x 3 + 2 x 4 = 16 3 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 = 16

Agora trocando as colunas:

12 x 3 + 2 x 2 + 6 x 1 + 2 x 4 = 16 4 x 3 + 3 x 2 + 3 x 1 + 2 x 4 = 16

Ficou claro? Como trocamos as colunas 1 e 3 de lugar, as variáveis x 1 e x 3 também trocaram de lugar na nossa matriz! Nesse tipo de questão eu normalmente escrevo em cima das colunas qual variável que ela representa pra eu não me perder, então já fica a dica ;)

Continuando a Eliminação de Gauss com a matriz pivoteada chegamos em:

12 2 6 2 0 2.5 7.5 4.5 0 2.33 1 1.33 0 - 5.33 1 4.67 16 24 10.67 - 5.67

Aplicando o pivoteamento completo novamente:

Trocamos as colunas novamente! Volto a repetir, tomem cuidado com essa mudança na ordem das variáveis, galera. Deu pra pegar o espírito da coisa né? Vamos ver o algoritmo pra fechar.

Algoritmo do Pivoteamento Completo

Mesmo esquema do pivoteamento parcial. Basta adicionar alguns passos no algoritmo da Fase 1 da Eliminação de Gauss.

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

a. Matriz quadrada A n × n (em geral uma matriz é representada como uma lista de listas em programação).

b. Vetor solução b 1 × n (normalmente representado por uma lista).

Passo 2. Percorremos as linhas de A com uma variável i (de 1 a n ).

Passo 3. l = i + 1

Passo 4. m = i

Passo 5. l i n M a i o r = i

Passo 6. c o l M a i o r = i

Passo 7. m a i o r = a i i

Passo 8. Se a l m > m a i o r , então m a i o r = a l m , l i n M a i o r = l e c o l M a i o r = m .

Passo 9. l = l + 1

Passo 10. Enquanto l ≤ n , volte para o Passo 8. Caso contrário, continue.

Passo 11. l = i e m = m + 1

Passo 12. Enquanto m ≤ n , volte para o Passo 8. Caso contrário, continue.

Passo 13. Troque as linhas i e l i n M a i o r de A e b .

Passo 14. Troque as colunas i e c o l M a i o r de A . Não se esqueça de armazenar essas alterações de alguma forma.

Passo 15. Escolher pivô da i -ésima linha e armazenar na variável p .

Passo 16. Para cada ‘ i ’, percorremos as linhas de i + 1 até n com uma variável k .

Passo 17. Definimos o multiplicador m i k = a k i p .

Passo 18. Para cada ' k ' , b k = b k - m i k ∙ b i

Passo 19. Para cada ‘ k ’, percorremos as colunas de i até n com uma variável j .

Passo 20. a k j = a k j - m i k ∙ a i j

A única coisa que você precisa se lembrar como eu pontuei no Passo 14 é de armazenar em algum lugar essas mudanças de colunas para consertar o resultado da Fase 2, a retrosubstituição.

Obs.: Deu pra perceber que pivoteamento dá um trabalho absurdo né? Não só para você, mas para a máquina também! O pivoteamento parcial é bem justificável já que elimina o problema com os zeros. O pivoteamento completo, no entanto, só é recomendado para sistemas em que a precisão é muito essencial de modo a justificar o tempo extra gasto.

Pivoteamento Parcial

Algoritmo do Pivoteamento Parcial

Pivoteamento Completo

Algoritmo do Pivoteamento Completo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva o seguinte sistema de equações lineares

x + y + z = 0

x + 10 z = - 48

10 y + z = 2 5

Usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).

Passo 1

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 1 0 10 0 10 1 x y z = 0 - 48 25

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 - 48 25

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

Como o maior elemento da primeira coluna é o 1 , não precisamos mudar nossa matriz pelo pivoteamento. Mas podemos trocar a segunda e a terceira linhas:

L 2 ↔ L 3

1 1 1 0 1 0 1 1 0 10 0 25 - 48

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha só:

L 3 ← L 3 - L 1 :

1 1 1 0 10 1 0 - 1 9 0 25 - 48

Novamente, não será necessário aplicar o pivoteamento parcial, pois o maior elemento da segunda coluna já é o próximo pivô:

1 1 1 0   10 1 0 - 1 9 0 25 - 48

L 3 ← L 3 + 1 10 L 2 :

1 1 1 0 10 1 0 0 9,1 0 25 - 45,5

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

x + y + z = 0 10 y + z = 25 9,1 z = - 45,5       I I I I I I

De I I I :

z = - 5

Substituindo z em I I :

10 y - 5 = 25

y = 3

Substituindo y e z em I :

x + 3 - 5 = 0

x = 2

Logo, ficamos com:

x , y , z = 2 ,   3 ,   - 5

Resposta

x , y , z = 2 ,   3 ,   - 5

Exercício Resolvido #2

Utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, verifique se é possível resolver o sistema linear abaixo:

x + y + z = 1 x + 2 y + 2 z = 2 2 x + 2 y + 2 z = 2

Passo 1

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 1 2 2 2 2 2 x y z = 1 2 2

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 2 ↔ L 1

  2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô:

L 2 ← L 2 - 1 2 L 1 :

  2 2 2 0 1 1 1 1 1 2 1 1

L 3 ← L 3 - 1 2 L 1 :

  2 2 2 0 1 1 0 0 0 2 1 0

Opa, a última linha zerou por completo... É um caso em que teremos infinitas soluções, já que nosso sistema agora tem 2 equações e 3 incógnitas:

2 x + 2 y + 2 z = 2

y + z = 1

Então, não foi possível resolver o sistema!

Resposta

Sistema possui infinitas soluções

Exercício Resolvido #3

Resolva os sistemas abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

a 5 x 1 + x 2 - 6 x 3 = 7 2 x 1 + x 2 - x 3 = 8 6 x 1 + 12 x 2 + x 3 = 9

b x 1 - x 2 + x 3 = 5 7 x 1 + 5 x 2 - x 3 = 8 2 x 1 + x 2 + x 3 = 7

Passo 1

a Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

5 1 - 6 2 1 - 1 6 12 1 7 8 9

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

6 12 1 2 1 - 1 5 1 - 6 9 8 7

L 2 ← L 2 - 2 6 L 1 :

6 12 1 0 - 3 - 4 3 5 1 - 6 9 5 7

L 3 ← L 3 - 5 6 L 1 :

6 12 1 0 - 3 - 1.333 0 - 9 - 6.833 9 5 - 0.5

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 2 ↔ L 3 :

6 12 1 0 - 9 - 6.833 0 - 3 - 1.333 9 - 0.5 5

L 3 ← L 3 - - 3 - 9 L 2 = L 3 - 1 3 L 2 :

6 12 1 0 - 9 - 6.833 0 0 0.944 9 - 0.5 5.167

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

6 x 1 + 12 x 2 + x 3 = 9 - 9 x 2 - 6.833 x 3 = - 0.5 0.944 x 3 = 5.167       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 5.471

De I I :

- 9 x 2 - 6.833 ∙ 5.471 = - 0.5

- 9 x 2 = 36.882

x 2 = - 4.098

De I :

6 x 1 + 12 ∙ - 4.098 + 5.471 = 9

6 x 1 = 52.706

x 1 = 8.784

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 8.784 , - 4.098,5.471

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

1 - 1 1 7 5 - 1 2 1 1 5 8 7

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

7 5 - 1 1 - 1 1 2 1 1 8 5 7

L 2 ← L 2 - 1 7 L 1 :

7 5 - 1 0 - 1 . 714 1 . 143 2 1 1 8 3.857 7

L 3 ← L 3 - 2 7 L 1 :

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 - 0.429 1.286 8 3.857 4.714

Já ta pivoteado! Continuamos com a eliminação.

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 - 0.429 1.286 8 3.857 4.714

L 3 ← L 3 - - 0.429 - 1.714 L 2 = L 3 - 0.25 L 2 :

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 0 1 8 3.857 3.749

Passo 6

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

7 x 1 + 5 x 2 - x 3 = 8 - 1.714 x 2 + 1.143 x 3 = 3.857 x 3 = 3.749       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 3.749

De I I :

- 1.714 x 2 + 1.143 ∙ 3.749 = 3.857

- 1.714 x 2 = - 0.428

x 2 = 0.25

De I :

7 x 1 + 5 ∙ 0.25 - 3.749 = 8

7 x 1 = 10.5

x 1 = 1.5

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 1.5,0.25,3.749

Resposta

a   x 1 , x 2 , x 3 = 8.784 , - 4.098,5.471

b x 1 , x 2 , x 3 = 1.5,0.25,3.749

Exercício Resolvido #4

Resolva o sistema abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento completo e aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos na mantissa e truncamento:

0.03 x 1 + 58.9 x 2 = 59.2 5.31 x 1 - 6.10 x 2 = 47.0

Solução exata: 10,1

Passo 1

a Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

0.03 58.9 5.31 - 6.10 59.2 47.0

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento:

C o l u n a   1 ↔ C o l u n a   2 :

58.9 0.03 - 6.10 5.31 59.2 47.0

Tomem cuidado porque trocamos as colunas de lugar, então a ordem das soluções foi alterada!

L 2 ← L 2 - - 6.10 58.9 L 1 :

58.9 0.03 0 5.31 59.2 53.1

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

58.9 x 2 + 0.03 x 1 = 59.2 5.31 x 1 = 53.1

Da segunda equação:

x 1 = 10

Substituindo na primeira:

58.9 x 2 + 0.30 = 59.2

x 2 = 1

Então temos:

x 1 , x 2 = 10,1

Tivemos um ótimo resultado né? Achamos a solução exata!

Resposta

x 1 , x 2 = 10,1

Exercício Resolvido #5

Resolva o sistema abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento completo e aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos na mantissa e truncamento:

3.03 x 1 - 12.1 x 2 + 14 x 3 = - 119 - 3.03 x 1 + 12.1 x 2 - 7 x 3 = 120 6.11 x 1 - 14.2 x 2 + 21 x 3 = - 139

Solução exata: 0,10 , 1 7

Passo 1

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

3.03 - 12.1 14 - 3.03 12.1 - 7 6.11 - 14.2 21 - 119 120 - 139

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento completo:

L 1 ↔ L 3 :

6.11 - 14.2 21 - 3.03 12.1 - 7 3.03 - 12.1 14 - 139 120 - 119

C o l u n a   1   ↔ C o l u n a   3 :

21 - 14.2 6.11 - 7 12.1 - 3.03 14 - 12.1 3.03 - 139 120 - 119

L 2 ← L 2 - - 7 21 L 1 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 14 - 12.1 3.03 - 139 73.6 - 119

L 3 ← L 3 - 14 21 L 1 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 0 - 2.63 - 1.04 - 139 73.6 - 26.3

Já está pivoteado então menos trabalho pra gente!

L 3 ← L 3 - - 2.63 7.36 L 2 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 0 0 - 1.39 - 139 73.6 - 0.0248

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema. Lembrando que trocamos as colunas lá no começo!

21 x 3 - 14.2 x 2 + 6.11 x 1 = - 139 7.36 x 2 - 0.993 x 1 = 73.6 - 1.39 x 1 = - 0.0248       I I I I I I

De I I I :

x 1 = 0.0178

De I I :

7.36 x 2 - 0.993 ∙ 0.0178 = 73.6

7.36 x 2 = 73.6

x 2 = 10

De I :

21 x 3 - 14.2 ∙ 10 + 6.11 ∙ 0.0178 = - 139

21 x 3 = 2.00

x 3 = 0.0952

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 0.0178,10,0.0952

O x 1 ficou bastante distante do zero, mas levando em conta que estamos apenas com 3 dígitos na mantissa provavelmente não foi tão ruim haha. O x 2 deu certinho. O maior problema foi no x 3 mesmo que deu aproximadamente 1.5 vezes menor que o que deveria.

Resposta

x 1 , x 2 , x 3 = 0.0178,10,0.0952

Exercício Resolvido #6

Seja o seguinte sistema linear:

    2 y + 5 z = 9 x - 3 y + z = 5 2.1 x + y + z = 3

É possível resolvê-lo usando o método de Gauss? Justifique sua resposta. No caso afirmativo aplique o algoritmo, caso contrário use o método de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

Claramente não podemos usar o método de Gauss né? Se usássemos teríamos o 0 como primeiro pivô. E o primeiro multiplicador ficaria:

m = 1 0

O que é indeterminado né! Vamos aplicar então o método de Gauss com pivoteamento parcial. Passando para a forma matricial:

0 2 5 1 - 3 1 2.1 1 1 9 5 3

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

2.1 1 1 1 - 3 1 0 2 5 3 5 9

L 2 ← L 2 - 1 2.1 L 1 :

2.1 1 1 0 - 3.476 0.524 0 2 5 3 3.571 9

Já está pivoteado ;)

L 3 ← L 3 - 2 - 3.476 L 2 :

2.1 1 1 0 - 3.476 0.524 0 0 5.301 3 3.571 11.055

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

2.1 x 1 + x 2 + x 3 = 3 - 3.476 x 2 + 0.524 x 3 = 3.571 5.301 x 3 = 11.055       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 2.085

De I I :

- 3.476 x 2 + 0.524 ∙ 2.085 = 3.571

- 3.476 x 2 = 2.479

x 2 = - 0.713

De I :

2.1 x 1 - 0.713 + 2.085 = 3

2.1 x 1 = 1.628

x 1 = 0.775

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 0.775 , - 0.713,2.085

Resposta

x 1 , x 2 , x 3 = 0.775 , - 0.713,2.085

Exercício Resolvido #7

Trabalhando com quatro dígitos significativos, resolva os sistemas lineares a seguir (ou detecte que não há solução). Use pivoteamento parcial. Estabeleça um critério para decidir se números pequenos em lugares importantes são considerados como zero ou não. Confira a solução obtida:

a 1.12 a + 6 b = 1.3 2.21 a + 12 b = 2.6

b 1.12 a + 6 b = 1.3 2.24 a + 12 b = 3

Passo 1

a Passando para a forma de matriz aumentada:

1.12 6 2.21 12 1.3 2.6

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 2 :

2.21 12 1.12 6 2.6 1.3

L 2 ← L 2 - 1.12 2.21 L 1 :

2.21 12 0 - 0.08145 2.6 - 0.01765

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

2.21 x 1 + 12 x 2 = 2.6 - 0.08145 x 2 = - 0.01765

Da segunda equação:

x 2 = 0.2167

Substituindo na primeira:

2.21 x 1 + 12 ∙ 0.2167 = 2.6

2.21 x 1 = - 0.0004

x 1 = - 1.810 × 10 - 4

Bom, a questão falou pra decidir se números pequenos em lugares importantes iam ser considerados como zero ou não. E esse ta parecendo bem zerado pra mim haha. Então vamos fazer:

x 1 = 0

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 = 0 , 0.2167

Beleza, próxima letra.

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

1.12 6 2.2 4 12 1.3 3

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 2 :

2.2 4 12 1.12 6 3 1.3

L 2 ← L 2 - 1.12 2.24 L 1 :

2.2 4 12 0 0 3 - 0.2

Chegamos numa equação que diz

0 = - 0.2

Ou seja, o sistema não tem solução.

Resposta

a x 1 , x 2 = 0,0.2167

b Sem solução.

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