Comprimento de Arco

Teoria Completa

Como Calcular?

Imagine que temos uma curva σ t = x t , y t , z t . Queremos saber qual é o comprimento de um arco, ou seja, qual o comprimento de uma parte dessa curva. Como fazer?

Relaxa, é super tranquilo. Para calcular o comprimento de um arco de σ ( t ) , do ponto σ ( t 1 ) ao ponto σ ( t 2 ) , basta usar a seguinte fórmula:

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t ) d t

Onde

σ ' ( t ) = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

Agora, pra ficar mais fácil ainda, vou te dar aquele passo-a-passo que eu sei que você gosta:

  1. Encontrar t 1 e t 2 .
  2. Calcular σ ' ( t ) .
  3. Calcular σ ' t .
  4. Substituir em L .

Exemplo:

Calcule o comprimento da seguinte curva:

σ t = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

0 ≤   t < 2 π

  1. Encontrar t 1 e t 2 :
  2. Queremos calcular o comprimento da curva do ponto σ ( 0 ) ao ponto σ ( 2 π ) :

    t 1 = 0 t 2 = 2 π

  3. Calcular σ ' ( t ) :
  4. σ ' t = ( - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

  5. Calcular σ ' ( t ) :
  6. σ ' ( t ) = - 2 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 = 2

  7. Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t ) d t = ∫ 0 2 π 2   d t = 2 ∫ 0 2 π d t = 4 π

Esse resultado te parece familiar? Talvez você tenha notado que a curva σ ( t ) é um círculo de raio r = 2 , certo? Então olha que maneiro: encontramos o resultado certinho do comprimento do círculo. Isso mostra que a fórmula funciona de verdade!

Então mãos à obra e partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p 33 – exercício 1 letra d

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,     0 ≤ t ≤ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 σ ( t )   d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t 1 e t 2 .

Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = 1 ,   6 t , 18 t 2

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2

σ ' ( t ) = 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1

Note que essa expressão tá com cheiro de quadrado perfeito: a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = 18 2 t 4 2 a b = 36 t 2 b 2 = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

a = 18 t 2   b = 1

Logo:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

⇒ 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1 = 18 t 2 + 1 2

Substituindo acima temos que:

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1 2

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ 0 2 18 t 2 + 1   d t

Calculemos então a integral indefinida:

∫ 18 t 2 + 1   d t = 6 t 3 + t

Substituindo na integral definida:

L = 6 2 3 + 2 - 6 0 3 + 0

⇒ L = 50 - 0

⇒ L = 50

Resposta

L = 50

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.33. questão 2.

Uma curva tem equação y 2 = x ³ . Encontre o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, essa curva não está parametrizada. Então, devemos parametrizá-la. Para isso, observe que

x = y 2 3

Podemos então usar a parametrização natural, fazendo:

y t = t

x t = t 2 3

Agora temos a curva

σ t = t 2 3 , t

Passo 2

Precisamos encontrar ainda t 1 e t 2 . Observe que a questão pede o comprimento do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) . Então, em t 1 a curva está no ponto ( 1 , - 1 ) e em t 2 , esta no ponto ( 1,1 ) . Então

t 1 2 3 = 1

t 1 = - 1

E

t 2 2 3 = 1

t 2 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular σ ' ( t ) :

σ t = t 2 3 , t

σ ' t = 2 3 t - 1 3 , 1

σ ' ( t ) = 2 3 t - 1 3 2 + 1 2 = 4 9 t - 2 3 + 1

- ''

Passo 4

Pronto, agora só substituir na fórmula

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

L = ∫ - 1 1 4 9 t - 2 3 + 1   d t = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3 9 t 2 3   d t = ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3 3 t 1 3   d t

L = 1 3 ∫ - 1 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t = 1 3 ∫ - 1 0 - 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t

L = 1 3 ∫ - 1 0 - 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t + ∫ 0 1 4 + 9 t 2 3 t 1 3   d t

L = 1 3 ( - 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 0 - 1 + 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 1 0

L = 1 3 . 1 9 4 + 9 t 2 3 3 2 1 0 - 4 + 9 t 2 3 3 2 0 - 1

L = 1 27 13 13 - 64 - 64 - 13 13 = 1 27 2.13 13 - 2.8

L = 2 27 13 13 - 8

Resposta

L = 2 27 13 13 - 8

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.34. questão 7.

Uma curva C é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção da circunferência, conforme a figura. Pede-se: