Área de Curvas Parametrizadas

Teoria Completa

Revisão de Conceitos

E aí gente, tudo bem? Você provavelmente já deve ter estudado área entre curvas e eixos e área entre curvas. Então, o que há de novo?

A diferença é que antes as curvas não estavam parametrizadas, ou seja, elas estavam expressas em suas equações cartesianas: y = f ( x ) ou x = f y . Agora, vamos ter algo do tipo x = x t e y = y t .

Tínhamos basicamente 3 casos:

  • Áreas entre a curva e o eixo x , assim como na figura a seguir:
  • Sua área é dada por:

    A = ∫ a b f x d x  

    Ou ainda

    Onde a área é:

    A = - ∫ a b f x d x  

  • Área entre a curva e o eixo y , como no exemplo:
  • Com área:

    A = ∫ c d g y d y

    Ou ainda

    Onde a área é:

    A = - ∫ c d g y d y

  • Área entre curvas, como a seguir:

Com área:

A = ∫ a b [ f c i m a - f b a i x o ] d x = ∫ a b [ g x - f x ] d x

Vamos ver que com curvas parametrizadas, usaremos o mesmo raciocínio.

Calculando área de curvas parametrizadas

Quando tivermos uma curva parametrizada, basicamente o que vamos fazer é identificar em qual das situações do cálculo de áreas acima apresentados o problema se encaixa.

Vamos utilizar a fórmula adequada conforme estudado, porém temos que tomar cuidado com alguns detalhes, como substituir o f x ou f y por y t e x t , respectivamente, substituir d x ou d y em função de d t e rever os limites de integração.

Calma que vamos ver isso tudo que eu falei no exemplo a seguir e também nos exercícios resolvidos.

Vamos ver um exemplo:

Exemplo :

Determine a área da ciclóide x = 6 ( t - s e n t ) y = 6 1 - c o s t   0 ≤ t ≤ 2 π  

Passo 1: Verificar se há trechos repetidos

Repare também que não há trechos repetidos da curva, ou seja, a curva não percorre um mesmo caminho duas vezes, pois parar todo 0 ≤ t ≤ 2 π , x t 1 ≠ x t 2 ,   com t 1 ≠ t 2 . O esboço da cicloide se encontra na abaixo:

Passo 2: Identificar qual dos 3 tipos de cálculo de áreas vamos usar

Primeiramente, podemos perceber que y t é sempre não negativo, pois 1 - c o s t ≥ 0 . Sabemos então que se trata do caso em que temos de calcular a área entre a curva e o eixo x .

Passo 3: Expressar a integral e os limites de integração em relação a t .

A fórmula para calcular sua área é:

A = ∫ a b f x d x   = ∫ a b y d x  

Primeiramente, vamos começar identificando y :

y = 6 1 - c o s t

Agora, vamos encontrar d x :

x = 6 ( t - s e n t )

Logo temos

d x = 6 1 - c o s t d t

Falta definir os limites de integração! Ele é dado pelo valor de t no início da curva e no fim da mesma. Logo, t i = 0 e t f = 2 π

A fórmula para calcular a área fica então:

A = ∫ a b f x d x   = ∫ a b y d x  

Substituindo:

A = ∫ 0 2 π 6 1 - c o s t 6 1 - c o s t d t

Passo 4: Calcular a integral

A = 36 ∫ 0 2 π 1 - c o s t 2 d t = 36 ∫ 0 2 π 1 - 2 c o s t + cos 2 ⁡ t d t

A = 36 ∫ 0 2 π 1 - 2 c o s t + 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 d t = 36 ∫ 0 2 π 2 - 4 c o s t + 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

A = 18 ∫ 0 2 π 2 - 4 c o s t + 1 + c o s 2 t d t = 18   3 t - 4 s e n t + s e n 2 t 2 2 π 0

A = 18   6 π = 108 π

Partiu exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a área da elipse cuja equação paramétrica é x = 2 c o s t - 1   , y = 3 s e n t - 1   com 0 ≤ t ≤ 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos verificar se há trechos repetidos

Essa é a equação paramétrica de uma elipse. Como 0 ≤ t ≤ 2 π , essa elipse dá uma volta completa, ou seja, não há trechos repetidos ou sobrepostos.

Passo 2

Identificar qual dos 3 tipos de cálculo de áreas vamos usar.

Para isso, vamos observar seu gráfico. Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos 2 e 3 e centro 1,1 . Seu gráfico é:

Bom, podemos dividir essa curva em dois segmentos: A parte em vermelho (parte de cima da curva), com equação x = 2 c o s t - 1   , y = 3 s e n t - 1 com 0 ≤ t ≤ π e a parte em azul (parte de baixo da curva), com equação x = 2 c o s t - 1   , y = 3 s e n t - 1 com π ≤ t ≤ 2 π .

Portanto, temos de calcular a área compreendida entre duas curvas.

Passo 3

Substituir as informações na integral para calcular a área.

A fórmula para calcular a área é:

A = ∫ A B [ f c i m a - f b a i x o ] d x = ∫ A B [ y c i m a - y b a i x o ] d x

Primeiramente, vamos começar identificando y c i m a e y b a i x o :

y c i m a = y b a i x o = 3 s e n t - 1

Agora, vamos encontrar d x :

x = 2 c o s t - 1

d x = - 2 s e n t d t

Falta definir os limites de integração

Vamos começar analisando a curva de cima. A integral relativa a ela é:

∫ A B y c i m a d x

Porém, repare que a curva não é orientada no sentido A → B , mas é percorrida de B para A . Portanto, os limites de integração serão trocados.

Para a curva de cima, t assume o valor de π no ponto A e 0 no ponto B . A integral fica:

∫ π 0 3 s e n t - 1 ( - 2 s e n t ) d t

Agora vamos analisar os limites de integração da curva de baixo. Ela percorre o sentido A → B , portanto os limites de integração são: π e 2 π . A integral fica:

∫ π 2 π 3 s e n t - 1 ( - 2 s e n t ) d t

A área é dada por:

A = ∫ π 0 3 s e n t - 1 - 2 s e n t d t - ∫ π 2 π 3 s e n t - 1 - 2 s e n t d t

Passo 4

Calcular a integral

Então vamos ter:

A = ∫ π 0 - 6 s e n 2 t + 2 s e n t d t - ∫ π 2 π - 6 s e n 2 t + 2 s e n t d t

Ajeitando temos:

A = ∫ π 0 - 6 1 - cos ⁡ 2 t 2 + 2 s e n t d t - ∫ π 2 π - 6 1 - cos ⁡ 2 t 2 + 2 s e n t d t

A = ∫ π 0 - 3 + 3 cos ⁡ 2 t + 2 s e n t d t - ∫ π 2 π - 3 + 3 cos ⁡ 2 t + 2 s e n t d t

Calculando as integrais:

A = - 3 t + 3 2 s e n 2 t - 2 cos ⁡ t 0 π - - 3 t + 3 2 s e n 2 t - 2 cos ⁡ t 2 π π

Temos:

A = 0 + 0 - 2 - - 3 π + 0 + 2 - - 6 π + 0 - 2 - - 3 π + 0 + 2  

A = 3 π - 4 + 6 π + 4 - 3 π

A = 6 π

Resposta

A = 6 π

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule a área da região do plano limitada pelo laço da curva C de equações paramétricas x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 , considerando o seu gráfico a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos verificar se há trechos repetidos.

Vamos calcular a área limitada pelo laço da curva C . Pelo gráfico, é possível perceber que não há trechos repetidos.

Passo 2

Identificar qual dos 3 tipos de cálculo de áreas vamos usar.

Pelo gráfico, notamos que o problema pode ser resolvido se calcularmos a área entre a curva e o eixo y .

Passo 3

Substituir as informações na integral para calcular a área.

A fórmula para calcular a área é:

A = - ∫ c d x 1 d y + ∫ c d x 2 d y

Onde x 1 é a curva á esquerda do eixo y e x 2 é a curva a direita do eixo y .

No nosso caso a curva é a mesma, o que vai mudar são os limites de integração.

Curva a esquerda do eixo y :

x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 ,   - 3 ≤ t ≤ 0

Curva a direita do eixo y :

x = - t 3 3 + t y = t 2 - 1 ,   0 ≤ t ≤ 3

Vamos encontrar d y :

y = t 2 - 1

Podemos calcular d y = 2 t d t

Agora vamos calcular os limites de integração.

Vamos analisar a parte da curva a esquerda do eixo y . O valor de t no ponto D é t = - 3 e o valor no ponto C é t = 0

Analisando a curva a direita, temos:

O valor de t no ponto D é t = 3 , e no ponto C é t = 0

Portanto, a integral fica:

A = - ∫ c d x 1 d y + ∫ c d x 2 d y

Repare que tem esse menos na primeira integral, pois a curva está a esquerda do eixo y . Substituindo:

A = - ∫ 0 ´ - 3 - t 3 3 + t 2 t d t + ∫ 0 3 - t 3 3 + t 2 t d t

Passo 4

Calcular a integral

Ajeitando:

A = ∫ - 3 ´ 0 - t 3 3 + t 2 t d t + ∫ 0 3 - t 3 3 + t 2 t d t

A = ∫ - 3 ´ 3 - t 3 3 + t 2 t d t = 2 ∫ 0 ´ 3 - t 3 3 + t 2 t d t

Calculando temos:

A = 4 ∫ 0 ´ 3 - t 4 3 + t 2 d t = 4 - t 5 15 + t 3 3 3 0

Portanto:

A = 4 - 9 3 15 + 3 3 3 = 24 3 15 = 8 3 5

Resposta

A = 8 3 5

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