Vetor Aceleração

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Teoria

O vetor aceleração é a derivada da derivada do vetor posição! Bora entender como isso funciona?!

Como Calcular o Vetor Aceleração

Pra a gente achar a aceleração vetorial, não tem mistério! É só derivar o vetor velocidade em relação ao tempo. Ou derivar duas vezes o vetor posição em relação ao tempo:

-Mas como eu derivo um vetor?! 😱😱😱

É bem mais fácil do que parece, é só derivar cada elemento do vetor individualmente. Vou derivar um vetor qualquer, pra você ver:

Derivando com relação ao tempo, temos:

Podemos derivar de novo:

Viu, não é nenhum bicho de 7 cabeças! 👹 😉

📢 Clique para saber mais:

A aceleração vetorial pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, na direção do vetor tangente unitário e uma normal, na direção do vetor normal . Esse vetor normal não necessariamente precisa ser unitário, assim, se :

Onde é o componente tangencial da aceleração e é o componente normal.

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Exemplo: é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t=0 para: +10 min

Primeiro achamos o vetor velocidade, para isso derivamos o vetor acima:

No tempo temos:

Agora derivamos de novo pra achar o vetor aceleração:

Para calcular o ângulo entre os dois vetores, usamos a seguinte fórmula:

O módulo do vetor velocidade e aceleração são:

Calculamos o produto interno entre os dois vetores:

Finalmente calculamos:

Agora vamos praticar com exercícios?!

Exemplo: é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t=0 para: +10 min

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Escreva a → na forma a t T + a n N sem calcular T e N .

r t = ( 1 + 3 t , t - 2 , - 3 t )

Passo 1

Vamos lá, sabemos que a aceleração pode ser escrita na forma

Onde v t = ‖ v → t ‖ .

Passo 2

Assim, pra descobrir as componentes normal e tangencial, precisamos calcular v → t :

v → t = r ' t = ( 3,1 , - 3 )

Então

v t = v → t

v t = 3 2 + 1 2 + - 3 2 = 19

a n = 19

Passo 3

Da fórmula, sabemos que

a t = v ' t

a t = 0

Então:

a → t = 0 T → t + T → ' ( t ) 19

Resposta

a → t = 0 T → t + T → ' ( t ) 19

Exercício Resolvido #2

Uma estrada tem a configuração da parábola 120 y = x ² . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder 30 . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?

Passo 1

O que a questão quer saber são para quais valores da componente normal o caminhão não vai tombar.

Vamos lá, primeiro temos que parametrizar essa parábola ai:

x t = t

y t = 1 120 t ²

Passo 2

O que o problema nos diz é que a componente normal da aceleração não pode exceder 30, ou seja:

a n < 30

E como podemos obter a componente normal? Por essa fórmula aqui

a → 2 = a t 2 + a n 2

Beleza, vamos começar achando o vetor aceleração, a → , através da derivada da parametrização!

v → t = 1 , t 60

a → t = 0 , 1 60

Assim,

a → 2 = 1 360 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de a t . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui

a t = v → t '

v → t = 1 2 + t 60 2 = 1 60   3600 + t 2

a t = 1 60   3600 + t 2 ' = t 60 3600 + t 2

Passo 4

Ótimo, voltando naquela fórmula do passo 2, vamos ter o seguinte

1 360 = t 2 360 0 3600 + t 2 + a n 2

a n 2 = 1 36 0 0 - t 2 360 0 3600 + t 2 = 3600 + t 2 - t 2 3600 3600 + t 2 = 3600 360 0 3600 + t 2

Portanto,

a n = 1 3600 + t 2

Passo 5

Lembra que ele quer a n < 30 ? Então

1 3600 + t 2 < 30

1 < 30 3600 + t 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole y 2 - x 2 = 9 de tal forma que d x d t é uma constante positiva. Encontre o que se pede quando a partícula está em ( 4,5 ) : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes normal e tangencial da aceleração, a n e a t .

Passo 1

Primeira coisa: vamos parametrizar o ramo superior dessa hipérbole.

Se você não se lembra bem, dá uma olhada de novo em “Parametrização”.

y 3 2 - x 3 2 = 1

y t = 3   c o s h   u ( t )  

x t = 3 u ( t )  

u ( t ) ∈ R

σ t = 3 u t   , 3 c o s h   u t  

Entendeu por que eu coloquei o parâmetro como u ( t ) ? É por causa daquela parada que eu expliquei em “Vetor velocidade” de que pra falarmos de velocidade, o parâmetro tem que ser sempre o tempo e a parametrização da hipérbole é em função de um ângulo. Então fazemos esse ângulo ser uma função do tempo.

Passo 2

Agora, vamos ao que a questão pede para o ponto ( 4,5 )

Primeiro, o vetor posição neste ponto:

Essa é fácil né? Se a partícula está no ponto ( 4,5 ) , qual a posição dela?

( 4,5 ) né?!

Então é isso, a posição é:

r → ( t ) = ( 4,5 )

Passo 3

Ok, vetor velocidade:

v → t = d d t σ t = d x t d t , d y t d t

v → t = 3   c o s h   u t   . d u d t , 3 u t   . d u d t

Mas, no ponto ( 4,5 ) a gente sabe que

x t = 3 u ( t )   = 4

y t = 3   c o s h   u ( t )   = 5

Então a gente pode substituir isso ali em cima:

v → t = 5 . d u d t , 4 . d u d t

Mas

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

Substituindo isso:

v → t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

Tranquilo?

Passo 4

Vetor aceleração:

a t = v ' t = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3   c o s h   u t .   d 2 u d t 2   , 3   c o s h   u t   . d u d t . d u d t + 3   s i n h   u t   . d 2 u d t 2

Usamos regra do produto e regra da cadeia!

Agora temos que achar uma relação entre d 2 u d t 2 e d 2 x d t 2 já que as informações que o problema nos dá são sobre d x d t .

d 2 x d t 2   = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3     c o s h   u t .   d 2 u d t 2   = 0

Já que a questão disse que d x d t é uma constante positiva, então sua segunda derivada é zero.

d 2 u d t 2 = - 3 u t   d u d t 2 3   c o s h   u t  

Agora, finalmente, substituindo no ponto ( 4,5 ) , temos:

d 2 u d t 2 = - 4 5 d u d t 2 = - 4 5 1 5 . d x d t 2 = - 4 125 d x d t 2

Pois

3 u ( t )   = 4

3   c o s h   u ( t )   = 5

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

d u d t = 1 5 . d x d t

Que são relações que a gente já achou lá em cima :D

Beleza? Agora só falta substituir o ponto ( 4,5 ) no vetor aceleração:

a → t = 4 1 5 . d x d t 2 + 5 - 4 125 d x d t 2 , 5 1 5 . d x d t 2 + 4 - 4 125 d x d t 2

a → t = 4 25 d x d t 2 - 4 25 d x d t 2 , 1 5 d x d t 2 - 16 125 d x d t 2 = 0 , 9 125 d x d t 2

a → t = d x d t 2 0 , 9 125

Passo 5

Vetor tangente unitário:

T → = v → ‖ v → ‖

v → t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

‖ v → ‖ = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

T → = d x d t , 4 5 d x d t d x d t 41 5 = 5 41 , 4 41

Passo 6

Vetor normal unitário:

O vetor normal pode ser calculado como

n → = - d y d t , d x d t

Assim, o vetor normal unitário fica:

N → = - d y d t , d x d t d y d t 2 + d x d t 2  

Mas, esse denominador a gente já calculou né? Concorda que ele é igual a

‖ v → ‖ = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

Porque d y d t = 4 5 d x d t

Fazendo as substituições, então, temos:

N → = - 4 5 d x d t , d x d t d x d t 41 5 = - 4 41 , 5 41

Passo 7

A componente normal da aceleração é:

a n = v ( t ) = v → ( t )

a n = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d x d t 41 5

a n = d x d t 41 5

Passo 8

Já a componente tangencial da aceleração é:

a t = v ' ( t ) = d d t v → ( t )

a t = d d t d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d d t d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

Resposta

r → ( t ) = ( 4,5 )

v → ( t ) = d x d t 1 , 4 5

a → t = d x d t 2 0 , 9 125

T → = 5 41 , 4 41

N → = - 4 41 , 5 41

a n = d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

Exercício Resolvido #4

Uma partícula se move no plano de modo que seus vetores velocidade e aceleração são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move num circulo centrado na origem.

Passo 1

Como o problema pede, vamos supor que a partícula se move num círculo centrado na origem. Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória, então, se o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, significa que ele está na mesma direção do vetor posição.

Se a gente provar que o vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais, provamos também que velocidade e aceleração também o são.

Fazemos:

r → t = ( x ( t ) , y ( t ) )

v → t = r ' ( t )

Passo 2

Sabemos que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo. Assim:

v → t ⋅ r → t = 0

Agora a gente faz uma manobra aqui:

0 = 1 2 v → t ⋅ r → t + 1 2 v → t ⋅ r → t

Faz sentido né?

Passo 3

Agora, se a gente escrever v → t = r → ' ( t )

Vamos ver que o que temos é a regra de derivação para produto escalar entre r ( t ) e r ( t ) :

0 = 1 2 r ' t ⋅ r t + 1 2 r ' t ⋅ r t

0 = 1 2 d d t r t . r t

Passo 4

Mas

r t 2 = r t . r t

E considerando que a trajetória é um circulo, ‖ r t ‖ é uma constante, igual ao raio R da trajetória.

r t . r t = R ²

Passo 5

-

r t . r t = R ²

( x t , y t . ( x t , y t = R ²

x 2 t + y 2 t = R ²

E essa é exatamente a equação do circulo centrado na origem!!

Assim, provamos que a trajetória é um circulo centrado na origem :D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

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