Vetor Aceleração

Teoria Completa

O que é?

Quando falamos de vetor velocidade, eu disse que a velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo, lembra?

Se não lembra tudo bem, porque eu acabei de te lembrar rs

Mas então, se a velocidade é a taxa de variação do vetor posição, então a taxa de variação do vetor velocidade será a aceleração!

Ou seja, o vetor aceleração é a taxa com que o vetor velocidade varia no tempo. Faz sentido né?

Beleza! Agora que você já entende o conceito de aceleração, vou te mostrar como calcular.

Como calcular?

Bem, eu meio que já te disse como faz pra calcular o vetor aceleração né?

Isso mesmo! É só derivar o vetor velocidade em relação ao tempo. Ou derivar duas vezes o vetor posição em relação ao tempo.

a t = v ' t = σ ' ' ( t )

O vetor aceleração pode ser decomposto em duas componentes: uma tangencial, na direção do vetor tangente unitário T t e uma normal, na direção do vetor normal T ' t .

Repare que esse vetor normal não necessariamente precisa ser unitário.

Assim, se v t = v t :

Complicou? Vou te mostrar com um exemplo pra você entender melhor:

Seja a curva C parametrizada por:

x t = cos t + t s e n   t

y t = s e n   t - t c o s   t  

t 0

Calculamos

v t = ( t c o s   t ,   t s e n   t )

a t = v ' t = ( - t s e n   t + cos t , t c o s   t + s e n   t )

v t = v t = t c o s t 2 + t s e n t 2 = t

A componente tangencial da aceleração é dada por:

v ' t = 1

A componente normal da aceleração é dada por:

v t = t

O vetor aceleração é, portanto:

a t = 1 . T t + t . T ' ( t )

Repare que o vetor aceleração obtido pela derivação do vetor velocidade, a principio, parece diferente do vetor aceleração obtido decompondo-o em componentes normal e tangencial:

a t = v ' t = ( - t s e n   t + cos t , t c o s   t + s e n   t )

a t = 1 . T t + t . T ' ( t )

Não se apavore!

Ambas as formas representam o mesmo vetor aceleração, apenas com uma ‘cara’ diferente.

Pra você não dizer que eu estou mentindo, vou te mostrar que os módulos dessas duas formas do vetor aceleração são iguais e, portanto, temos um bom indício que é o mesmo vetor:

a t = v ' t = ( - t s e n   t + cos t , t c o s   t + s e n   t )

a = - t sen t + cos t 2 + t cos t + sen t 2 = t 2 + 1

E

a t = 1 . T t + t . T ' ( t )

a = a t 2 + a n 2 = 1 + t 2

Viu só como eu não minto pra você?! Hahaha

Agora olha bem, presta atenção:

Derivar o vetor velocidade NÃO necessariamente dá as componentes normal e tangencial da aceleração. Dá pra ver isso nesse exemplo que eu dei ai em cima né? Os dois vetores pareciam até que nem eram o mesmo vetor. Para achar essas componentes, temos que usar nossa formulinha!

Estamos combinados assim? Não vai errar isso, hein!!

Beleza, agora arrasa nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 270, exercício 10.

Escreva a na forma a t T + a n N sem calcular T e N .

r t = ( 1 + 3 t , t - 2 , - 3 t )

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Passo 1

Vamos lá, sabemos que a aceleração pode ser escrita na forma

Onde v t = v t .

Passo 2

Assim, pra descobrir as componentes normal e tangencial, precisamos calcular v t :

v t = r ' t = ( 3,1 , - 3 )

Então

v t = v t

v t = 3 2 + 1 2 + - 3 2 = 19

a n = 19

Passo 3

Da fórmula, sabemos que

a t = v ' t

a t = 0

Então:

a t = 0 T t + T ' ( t ) 19

Resposta

a t = 0 T t + T ' ( t ) 19

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 11.

Uma estrada tem a configuração da parábola 120 y = x ² . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder 30 . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?

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Passo 1

O que a questão quer saber são para quais valores da componente normal o caminhão não vai tombar.

Vamos lá, primeiro temos que parametrizar essa parábola ai:

x t = t

y t = 1 120 t ²

Passo 2

O que o problema nos diz é que a componente normal da aceleração não pode exceder 30, ou seja:

a n < 30

E como podemos obter a componente normal? Por essa fórmula aqui

a 2 = a t 2 + a n 2

Beleza, vamos começar achando o vetor aceleração, a , através da derivada da parametrização!

v t = 1 , t 60

a t = 0 , 1 60

Assim,

a 2 = 1 360 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de a t . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui

a t = v t '

v t = 1 2 + t 60 2 = 1 60   3600 + t 2

a t = 1 60   3600 + t 2 ' = t 60 3600 + t 2

Passo 4

Ótimo, voltando naquela fórmula do passo 2, vamos ter o seguinte

1 360 = t 2 360 0 3600 + t 2 + a n 2

a n 2 = 1 36 0 0 - t 2 360 0 3600 + t 2 = 3600 + t 2 - t 2 3600 3600 + t 2 = 3600 360 0 3600 + t 2

Portanto,

a n = 1 3600 + t 2

Passo 5

Lembra que ele quer a n < 30 ? Então

1 3600 + t 2 < 30

1 < 30 3600 + t 2

Resposta

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 9.

Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole y 2 - x 2 = 9 de tal forma que d x d t é uma constante positiva. Encontre o que se pede quando a partícula está em ( 4,5 ) : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes normal e tangencial da aceleração, a n e a t .

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Passo 1

Primeira coisa: vamos parametrizar o ramo superior dessa hipérbole.

Se você não se lembra bem, dá uma olhada de novo em “Parametrização”.

y 3 2 - x 3 2 = 1

y t = 3   c o s h   u ( t )  

x t = 3 u ( t )  

u ( t ) R

σ t = 3 u t   , 3 c o s h   u t  

Entendeu por que eu coloquei o parâmetro como u ( t ) ? É por causa daquela parada que eu expliquei em “Vetor velocidade” de que pra falarmos de velocidade, o parâmetro tem que ser sempre o tempo e a parametrização da hipérbole é em função de um ângulo. Então fazemos esse ângulo ser uma função do tempo.

Passo 2

Agora, vamos ao que a questão pede para o ponto ( 4,5 )

Primeiro, o vetor posição neste ponto:

Essa é fácil né? Se a partícula está no ponto ( 4,5 ) , qual a posição dela?

( 4,5 ) né?!

Então é isso, a posição é:

r ( t ) = ( 4,5 )

Passo 3

Ok, vetor velocidade:

v t = d d t σ t = d x t d t , d y t d t

v t = 3   c o s h   u t   . d u d t , 3 u t   . d u d t

Mas, no ponto ( 4,5 ) a gente sabe que

x t = 3 u ( t )   = 4

y t = 3   c o s h   u ( t )   = 5

Então a gente pode substituir isso ali em cima:

v t = 5 . d u d t , 4 . d u d t

Mas

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

Substituindo isso:

v t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

Tranquilo?

Passo 4

Vetor aceleração:

a t = v ' t = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3   c o s h   u t .   d 2 u d t 2   , 3   c o s h   u t   . d u d t . d u d t + 3   s i n h   u t   . d 2 u d t 2

Usamos regra do produto e regra da cadeia!

Agora temos que achar uma relação entre d 2 u d t 2 e d 2 x d t 2 já que as informações que o problema nos dá são sobre d x d t .

d 2 x d t 2   = 3 u t   . d u d t . d u d t + 3     c o s h   u t .   d 2 u d t 2   = 0

Já que a questão disse que d x d t é uma constante positiva, então sua segunda derivada é zero.

d 2 u d t 2 = - 3 u t   d u d t 2 3   c o s h   u t  

Agora, finalmente, substituindo no ponto ( 4,5 ) , temos:

d 2 u d t 2 = - 4 5 d u d t 2 = - 4 5 1 5 . d x d t 2 = - 4 125 d x d t 2

Pois

3 u ( t )   = 4

3   c o s h   u ( t )   = 5

d x t d t = 3   c o s h   u t   . d u d t = 5 . d u d t

d u d t = 1 5 . d x d t

Que são relações que a gente já achou lá em cima :D

Beleza? Agora só falta substituir o ponto ( 4,5 ) no vetor aceleração:

a t = 4 1 5 . d x d t 2 + 5 - 4 125 d x d t 2 , 5 1 5 . d x d t 2 + 4 - 4 125 d x d t 2

a t = 4 25 d x d t 2 - 4 25 d x d t 2 , 1 5 d x d t 2 - 16 125 d x d t 2 = 0 , 9 125 d x d t 2

a t = d x d t 2 0 , 9 125

Passo 5

Vetor tangente unitário:

T = v v

v t = d x d t , 4 5 d x d t = d x d t 1 , 4 5

v = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

T = d x d t , 4 5 d x d t d x d t 41 5 = 5 41 , 4 41

Passo 6

Vetor normal unitário:

O vetor normal pode ser calculado como

n = - d y d t , d x d t

Assim, o vetor normal unitário fica:

N = - d y d t , d x d t d y d t 2 + d x d t 2  

Mas, esse denominador a gente já calculou né? Concorda que ele é igual a

v = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 =   d x d t 2 1 + 16 25 = d x d t 41 5

Porque d y d t = 4 5 d x d t

Fazendo as substituições, então, temos:

N = - 4 5 d x d t , d x d t d x d t 41 5 = - 4 41 , 5 41

Passo 7

A componente normal da aceleração é:

a n = v ( t ) = v ( t )

a n = d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d x d t 41 5

a n = d x d t 41 5

Passo 8

Já a componente tangencial da aceleração é:

a t = v ' ( t ) = d d t v ( t )

a t = d d t d x d t 2 + 4 5 d x d t 2 = d d t d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

Resposta

r ( t ) = ( 4,5 )

v ( t ) = d x d t 1 , 4 5

a t = d x d t 2 0 , 9 125

T = 5 41 , 4 41

N = - 4 41 , 5 41

a n = d x d t 41 5

a t = d 2 x d t 2 41 5

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 281, exercício 9.

Uma partícula se move no plano de modo que seus vetores velocidade e aceleração são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move num circulo centrado na origem.

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Passo 1

Como o problema pede, vamos supor que a partícula se move num círculo centrado na origem. Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória, então, se o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, significa que ele está na mesma direção do vetor posição.

Se a gente provar que o vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais, provamos também que velocidade e aceleração também o são.

Fazemos:

r t = ( x ( t ) , y ( t ) )

v t = r ' ( t )

Passo 2

Sabemos que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo. Assim:

v t r t = 0

Agora a gente faz uma manobra aqui:

0 = 1 2 v t r t + 1 2 v t r t

Faz sentido né?

Passo 3

Agora, se a gente escrever v t = r ' ( t )

Vamos ver que o que temos é a regra de derivação para produto escalar entre r ( t ) e r ( t ) :

0 = 1 2 r ' t r t + 1 2 r ' t r t

0 = 1 2 d d t r t . r t

Passo 4

Mas

r t 2 = r t . r t

E considerando que a trajetória é um circulo, r t é uma constante, igual ao raio R da trajetória.

r t . r t = R ²

Passo 5

-

r t . r t = R ²

( x t , y t . ( x t , y t = R ²

x 2 t + y 2 t = R ²

E essa é exatamente a equação do circulo centrado na origem!!

Assim, provamos que a trajetória é um circulo centrado na origem :D

Resposta

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