Teoria Completa
O que é?
Lembra que o vetor tangente é aquele toca a curva em um determinado. A direção desse vetor indica o movimento desse vetor. Mas neste tópico a gente que achar o vetor que é perpendicular ao vetor tangente, em outras palavras a gente quer achar o vetor normal.
E como a gente faz isso?
Primeiro, vamos visualizar esse vetor em uma curva qualquer,
O vetor tangente está em vermelho e o vetor normal está em azul, perpendicular ao movimento. É valido ressaltar aqui que existem diversos vetores normais a trajetória de uma partícula, mas estudaremos aqui apenas aquele que aponta para o centro de curva.
Agora que a gente já visualizou, vamos calcular!
Como calcular?
Tá, agora como você faz pra encontrar esse vetor normal? A gente vai precisar de três passos:
- Achar o vetor tangente uniário;
- Achar a derivada do vetor tangente unitário;
- Com essas informações, calcularemos o vetor normal, por
Agora vamos para um exemplo para ver se entendemos o passo a passo!
Vamos encontrar o vetor normal a curva parametrizada por
Passo 1: A primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente, e a gente faz isso derivando :
Para saber o vetor tangente unitário, nós temos que dividir pelo módulo. Então vamos calcular o módulo
Pronto, agora é só dividir,
Passo 2: Agora vamos derivar esse vetor tangente unitário e achar o seu módulo:
Passo 3: Agora é só alegria! Vamos substituir na fórmula e achar nosso vetor normal
Só mais um coisinha, se você tiver se perguntando por que estamos aprendendo isso: mais à frente vamos calcular integrais de superfície em um campo vetorial, aí vamos precisar encontrar uma expressão para os vetores normais unitários em uma dada superfície.
Agora é hora de praticar fazendo alguns exercícios!
Exercício Resolvido #1
Encontre o vetor normal para a curva plana
Passo 1
Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:
Como , temos que , portanto podemos desprezar o módulo
Passo 2
Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:
Passo 3
Agora derivamos o vetor tangente unitário:
E calculamos seu módulo:
Passo 4
Fim da questão: é só substituir na fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Encontre o vetor normal para a curva
Passo 1
Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:
Como e são maiores que zero, então podemos esquecer o módulo
Passo 2
Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:
Passo 3
Agora derivamos o vetor tangente unitário:
E calculamos seu módulo:
Passo 4
Fim da questão: é só substituir na fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #3
- Mostre que e são ambas normais à curva no ponto .
Para obter para uma curva plana em particular, podemos escolher e do item (a) que aponta para o lado côncavo da curva e torna-lo um vetor unitário. Aplique esse método para encontrar para as curvas a seguir:
Passo 1
Para demonstrar o que ele quer, podemos pensar assim: pela curva, podemos obter o vetor tangente. Se esse vetor for normal a curva o produto escalar deve ser zero!
Passo 2
A primeira coisa que fazemos é encontrar o vetor tangente:
Agora vamos calcular o produto escalar
Beleza, agora a gente sabe que é realmente normal a curva.
Passo 3
Agora para observa só uma coisa:
Ou seja, esse produto escalar também dá zero! Então, também é normal a curva.
Passo 4
Nas letras b e c vamos escolher . Temos:
e e
Logo,
e e
Logo,
Passo 5
Agora, precisamos torna-los vetores unitários: