Vetor Normal

Teoria Completa

O que é?

Vetor normal é um vetor que é perpendicular ao movimento, ou seja, ele é perpendicular ao vetor que é tangente ao movimento.

Existem diversos vetores normais a trajetória de uma partícula, mas estudaremos aqui apenas aquele que aponta para o centro de curvatura da trajetória.

Centro de curvatura? Oi?

Relaxa, isso é só um nome bonito para “para onde a curva tá virando”.

Esses vetores vermelhos são vetores tangentes a curva e os vetores azuis são os vetores normais que apontam para o centro de curvatura.

Sacou?

Como calcular?

Tá, agora como você faz pra encontrar esse vetor normal?

É fácil! A gente deriva o vetor tangente unitário e divide pelo seu módulo. Assim:

N → = T → ' t T → ' t

Ué, mas porque dividir pelo módulo?

Só para o vetor normal ser unitário também. Ele é chamado de vetor normal principal à curva.

Agora vou te dar um exemplo só pra você ver como isso é tranquilo:

Encontre o vetor normal a curva parametrizada por

σ t = cos ⁡ 2 t , s e n   2 t

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente unitário:

v t g → = σ ' t = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t

v t g → = - 2 s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 = 4 ( s e n 2 2 t + c o s 2 2 t ) = 4 = 2

T → ( t ) = v t g → v t g → = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t 2 = - s e n   2 t , cos ⁡ 2 t

Agora precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T → ' t = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t )

T → ' t = - 2 cos ⁡ 2 t 2 + - 2 s e n   2 t 2 = 4 c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 4 = 2

Agora é só alegria:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t ) 2 = ( - c o s   2 t , - sen ⁡ 2 t )

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 1.

Encontre o vetor normal para a curva plana

r t = t   i + ln ⁡ c o s t   j ,   - π 2 ≤ t < π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:

v t → = r ' ( t ) = 1 ,   - s e n   t cos ⁡ t = ( 1 , - t g   t )

v t → = 1 2 + - t g   t 2 = 1 + t g ² t = s e c ² t = | sec ⁡ t |

Como - π 2 ≤ t < π 2 , temos que sec ⁡ t > 0 , portanto podemos desprezar o módulo

v → t = sec ⁡ t

Passo 2

Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:

T → t = v t → v t → = ( 1 , - t g   t ) sec ⁡ t = 1 sec ⁡ t , - t g   t sec ⁡ t = ( cos ⁡ t ,   - s e n   t )  

Passo 3

Agora derivamos o vetor tangente unitário:

T → ' t = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

E calculamos seu módulo:

T → ' t = - s e n   t 2 + - cos ⁡ t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Passo 4

Fim da questão: é só substituir na fórmula:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t ) 1 = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

Resposta

N → = ( - s e n   t ,   - cos ⁡ t )

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 14.

Encontre o vetor normal para a curva

r t = c o s 3 t   i + s e n 3 t   j ,   0 ≤ t ≤ π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente:

v t → = r ' ( t ) = 3 ( - s e n   t ) c o s ² t ,   3 cos ⁡ t s e n ² t = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ² ( t ) )

v t → = - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) 2 + 3 cos ⁡ t s e n 2 t 2 = 9 s e n 2 t c o s 4 t + 9 c o s 2 t s e n 4 t

v t → = 9 c o s ² t s e n ² t ( c o s 2 t + s e n 2 t ) = | 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ( t ) |

Como 0 ≤ t < π 2 , cos ⁡ t e sin ⁡ t são maiores que zero, então podemos esquecer o módulo

v → t = 3 cos ⁡ t sen ⁡ t

Passo 2

Dividir o vetor tangente pelo seu módulo para encontrar o vetor tangente unitário:

T → t = v t → v t → = ( - 3 s e n ( t ) c o s ² ( t ) , 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ² ( t ) ) 3 c o s ⁡ ( t ) s e n ( t ) = - cos ⁡ t , s e n   t

Passo 3

Agora derivamos o vetor tangente unitário:

T → ' t = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

E calculamos seu módulo:

T → ' t = s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1

Passo 4

Fim da questão: é só substituir na fórmula:

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( s e n   t ,   cos ⁡ t ) 1 = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

Resposta

N → = ( s e n   t ,   cos ⁡ t )

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 7.
  1. Mostre que n t = - g ' t i + f ' t j e - n t = g ' t i - f ' t j são ambas normais à curva r t = f t i + g t j no ponto ( f t , g t ) .
  2. Para obter N → para uma curva plana em particular, podemos escolher n → e - n → do item (a) que aponta para o lado côncavo da curva e torna-lo um vetor unitário. Aplique esse método para encontrar N → para as curvas a seguir:

  3. r t = t   i + e 2 t   j  
  4. r t = 4 - t 2   i + t   j   ,   - 2 ≤ t ≤ 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para demonstrar o que ele quer, podemos pensar assim: pela curva, podemos obter o vetor tangente. Se esse vetor for normal a curva o produto escalar deve ser zero!

Passo 2

A primeira coisa que fazemos é encontrar o vetor tangente:

v t → = r ' t = f ' t , g ' t

Agora vamos calcular o produto escalar

n t ⋅ v t → = - g ' t i + f ' t j ⋅ f ' t i + g ' t j = - g ' t f ' t + f ' t g ' t = 0

Beleza, agora a gente sabe que n ( t ) é realmente normal a curva.

Passo 3

Agora para - n ( t ) observa só uma coisa:

- n t ⋅ v t → = - n t ⋅ v t → = - 0 = 0

Ou seja, esse produto escalar também dá zero! Então, - n ( t ) também é normal a curva.

Passo 4

Nas letras b e c vamos escolher n t = - g ' t i + f ' t j . Temos:

b ) f t = t e g t = e 2 t → f ' t = 1 e g ' t = 2 e 2 t

Logo,

n t = - 2 e 2 t i + 1 j

c )   f t = 4 - t 2   e g t = t → f ' t = - t 4 - t 2   e g ' t = 1

Logo,

n t = - 1 i - t 4 - t 2 j

Passo 5

Agora, precisamos torna-los vetores unitários:

b )   n t = - 2 e 2 t 2 + 1 2 = 4 e 4 t + 1

N → = n t n t = - 2 e 2 t i + 1 j 4 e 4 t + 1 = - 2 e 2 t i 4 e 4 t + 1 + 1 j 4 e 4 t + 1

c )   n t = - 1 2 + - t 4 - t 2 2 = 1 + t 2 4 - t 2 = 2 4 - t 2

N → = n t n t = - 1 i - t 4 - t 2 j 2 4 - t 2 = - 1 2 ( 4 - t 2 i + t   j )

Resposta

b ) N → = - 2 e 2 t i 4 e 4 t + 1 + 1 j 4 e 4 t + 1

c ) N → = - 1 2 ( 4 - t 2 i + t   j )

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