Teoria Completa
Derivada de função vetorial
Como eu derivo um vetor? É fácil! É só derivar cada coordenada. Dá uma olhada nesse exemplo:
Vamos derivar as coordenadas
Pronto, essa é a derivada. Se quisermos a segunda derivada é só derivar de novo.
E assim por diante para as próximas derivadas.
Então de forma geral, seria assim
E assim por diante...
Vetor velocidade
Se a trajetória de uma partícula é dada pela curva parametrizada por
Que é uma função que fornece a posição da partícula em qualquer instante de tempo , quando derivamos esse vetor posição o que você acha que encontramos? O vetor velocidade da partícula. Logo:
No nosso exemplo:
Se quisermos saber a velocidade escalar da partícula, isto é, a magnitude da velocidade, o que temos que fazer é calcular o módulo do vetor velocidade. Assim:
Observação: Quando estamos falando de vetor velocidade, o parâmetro representa S-E-M-P-R-E o tempo. Logo, esse vetor tem a mesma direção do movimento da partícula.
Em alguns casos, o vetor posição pode estar parametrizado em função de um ângulo, como é o caso da circunferência ou da elipse, por exemplo, a gente tem que colocar o parâmetro ângulo em função do parâmetro tempo .
E para fazer isso, é preciso relembrar alguns conceitos. Mas vamos lá:
- Movimento Circular Uniforme: é quando um corpo se move em uma trajetória circular, com velocidade constante. Nesse caso:
- Movimento Circular Uniformemente Variado: é quando um corpo se move em uma trajetória circular, mas tendo sua velocidade variando com uma taxa constante, isto é, com aceleração constante. Nesse caso:
Sendo a posição angular do corpo, a posição angular inicial, a velocidade angular do corpo, a velocidade angular inicial e a aceleração angular.
Observação: Caso o problema seja plano, isto é, , basta ignorar o termo nas derivadas e na velocidade escalar.
Regras de derivação
Sejam e funções deriváveis de t, um vetor constante, um escalar qualquer e uma função escalar derivável, então:
- (Derivada do vetor constante)
- (Multiplicação por um escalar)
- (Derivada da soma/subtração)
- (Regra do produto)
- (Regra do produto)
- (Regra do produto)
- (Regra da cadeia)
Se você olhar bem, é tudo igual as propriedades que você já aprendeu pra funções de uma variável, só que um pouco adaptadas porque agora estamos falando de vetores.
Vetor Tangente
Vetor tangente é um vetor que tem a mesma direção do movimento. Ele é encontrado derivando o vetor posição.
Por exemplo:
Se o parâmetro representa o tempo, representa o vetor velocidade da partícula.
Assim, a velocidade (e qualquer outra derivada) é um vetor tangente ao deslocamento da partícula, ou seja, aponta sempre na mesma direção do movimento da partícula, à medida que o parâmetro aumenta.
Podemos encontrar o vetor diretor unitário (chamado de versor) do movimento, isto é, a direção do vetor tangente (e consequentemente da velocidade) dividindo esse vetor pelo seu módulo, assim:
Voltando ao exemplo:
O vetor expressa a direção do movimento. Dessa forma, podemos expressar a velocidade de uma partícula que se move como sendo o produto entre o módulo de sua velocidade (velocidade escalar) e sua direção:
Partiu exercícios?
Exercício Resolvido #1
é a posição de uma partícula no plano no instante . Encontre o vetor velocidade da partícula no instante
Passo 1
Temos:
Para achar o vetor velocidade temos apenas que derivar cada coordenada do vetor posição
Passo 2
Assim:
Substituindo em
Logo, a velocidade da partícula é
Resposta
A velocidade da partícula é
Exercício Resolvido #2
Dois carros e percorrem, respectivamente, as estradas BR-101 e BR-102, tendo os seus movimentos descritos por
e ,
- No ponto onde as estradas BR-101 e BR-102 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre esse ponto .
- Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira é de , qual dos dois será multado no ponto ?
Passo 1
Vamos resolver o item (a):
Se as rodoviais se cruzam nesse ponto , devemos igualar as expressões e para encontra-lo.
Fazer a igualdade e encontrar sistema:
Logo:
Passo 2
Resolver o sistema:
Na primeira equação podemos isolar :
E substituindo na segunda equação encontramos que
Essa equação do segundo grau admite uma única raiz:
Logo:
Passo 3
Para encontrar o ponto, basta calcular ou .
Logo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos saber as velocidades escalares dos dois carros quando passam pelo ponto para descobrir qual deles ultrapassa .
Calculando velocidades vetoriais:
Calculando velocidades escalares:
Calculando velocidades escalares no ponto :
Logo, é o carro que será multado no ponto .
Resposta
O carro será multado no ponto
Exercício Resolvido #3
Uma partícula se move de acordo com a lei de movimento , para .
a) Determinem, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atinge os plano , e .
Passo 1
Vamos lá, para descobrir as velocidades das partículas precisamos derivar a equação da trajetória, certo? Fazendo isso, teremos:
Pronto, só isso mesmo :D
Passo 2
Agora que temos a equação que define a velocidade, temos que nos perguntar: qual é o valor de para quando a partícula passa pelos planos , e ?
Bom, para ela passar pelo plano , então, para a equação da posição, devemos ter coordenada , certo?
Dessa forma, temos:
Quando , a posição e velocidade dela valem:
Quando , a posição e velocidade valem:
Show! Vemos que ela realmente atravessa esse plano, com velocidade não nula :D
Passo 3
Agora, vejamos para o plano . Neste caso, ela deve ter coordenada na equação da posição. Para que isso aconteça, teremos:
como isso é um absurdo, vemos que ela não atravessa esse plano ;) Assim, não temos também nenhuma velocidade para encontrar!
Passo 4
Finalmente, para o plano , teremos que ter coordenada para a posição. Isso acontece quando:
Quando , a posição e velocidade da partícula são:
Prontinho :D
Resposta
a) Passa pelo plano nas posições e , respectivamente com as velocidades e . Não passa pelo plano . Passa pelo plano na posição e com velocidade .
Exercício Resolvido #4
Dois carros se movem sobre pistas circulares concêntricas de raios 1km e 2km, respectivamente. O primeiro com velocidade angular constante de . O segundo, parte do repouso, e mantem aceleração angular constante de Suponha que no instante inicial os dois carros estão emparelhados.
- Encontre os vetores posição para os dois movimentos
- Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro?
- Ache a velocidade do segundo carro neste instante.
Passo 1
Os dois carros se movem ao longo de um circulo de mesmo centro e raios e A parametrização do circunferência a gente já conhece:
Lembrando: e são as coordenadas do centro das circunferências. Como o problema não deu esse dado, vamos considerá-las centradas na origem. Ou seja:
Assim, seja o vetor posição do primeiro carro e o vetor posição do segundo carro, considerando e e substituindo os dados do problema, temos:
E
Eu chamei o de porque esse parâmetro é, na verdade, um ângulo, mas como eu disse na teoria, quando a gente tá falando de vetor velocidade, temos que “transformar” o parâmetro em tempo.
Passo 2
Então a gente tem usar aquelas relações do movimento circular que te falei lá na teoria:
(movimento circular uniforme)
(movimento circular uniformentente variado)
O problema diz pra gente que o primeiro carro se move com velocidade angular contante de , então:
E que o segundo, parte do repouso, e mantem aceleração angular constante de , então:
Assim, os vetores posição são:
E
Passo 3
O segundo carro se emparelha com o primeiro novamente quando as posições angulares dos dois carros forem iguais. Assim:
O caso não nos interessa pois é referente ao instante inicial em que já sabemos que os carros estão emparelhados.
Então, os carros voltam a se emparelhar quando .
Passo 4
Para encontrar o vetor velocidade do segundo carro temos que derivar o vetor posição do segundo carro e substituir em :
Em :
Passo 5
A velocidade escalar do segundo carro é:
Resposta
- e
Exercício Resolvido #5
Encontre o vetor tangente unitário da curva
,
Passo 1
Temos que derivar o vetor para encontrar o vetor tangente e depois dividi-lo pelo seu modulo pra encontrar o vetor tangente unitário.
Passo 2
Derivando :
Passo 3
Econtrando o módulo de:
Passo 4
Encontrando o vetor tangente unitário:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Encontre o vetor tangente unitário da curva
,
Passo 1
Temos que derivar o vetor para encontrar o vetor tangente e depois dividi-lo pelo seu modulo pra encontrar o vetor tangente unitário.
Passo 2
Derivando :
Passo 3
Econtrando o módulo de :
pois
Passo 4
Encontrando o vetor tangente unitário:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Encontre o vetor tangente unitário para a involuta do circulo no ponto cuja parametrização é dada por:
Passo 1
Temos que derivar o vetor (, s) para encontrar o vetor tangente e depois dividi-lo pelo seu modulo pra encontrar o vetor tangente unitário.
Passo 2
Derivando :
Passo 3
Econtrando o módulo de :
pois
Passo 4
Encontrando o vetor tangente unitário: