Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Teoria Completa

Derivada de função vetorial

Como eu derivo um vetor? É fácil! É só derivar cada coordenada. Dá uma olhada nesse exemplo:

σ t = t + 1 ,   t ² ,   e 2 t

Vamos derivar as coordenadas

σ ' ( t ) = 1,2 t , 2 e 2 t

Pronto, essa é a derivada. Se quisermos a segunda derivada é só derivar de novo.

σ ' ' ( t ) = 0,2 , 4 e 2 t

E assim por diante para as próximas derivadas.

Então de forma geral, seria assim

σ t = x t ,   y t ,   z t

σ ' ( t ) = x ' ( t ) ,   y ' ( t ) ,   z ' ( t )

σ ' ' ( t ) = x ' ' ( t ) ,   y ' ' ( t ) ,   z ' ' ( t )

E assim por diante...

Vetor velocidade

Se a trajetória de uma partícula é dada pela curva C parametrizada por

σ t = t 2 , sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   t ∈ R

Que é uma função que fornece a posição da partícula em qualquer instante de tempo t , quando derivamos esse vetor posição o que você acha que encontramos? O vetor velocidade da partícula. Logo:

v → t =   σ ' ( t ) = x ' ( t ) ,   y ' ( t ) ,   z ' ( t )

No nosso exemplo:

v → t = σ ' t = ( 2 t , cos ⁡ t , - sen ⁡ t )

Se quisermos saber a velocidade escalar da partícula, isto é, a magnitude da velocidade, o que temos que fazer é calcular o módulo do vetor velocidade. Assim:

v → = v = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' ( t ) ²  

v → = v = ( 2 t ) ² + ( cos ⁡ t ) ² + ( - sen ⁡ t ) ² = 4 t 2 + 1

Observação: Quando estamos falando de vetor velocidade, o parâmetro t representa S-E-M-P-R-E o tempo. Logo, esse vetor tem a mesma direção do movimento da partícula.

Em alguns casos, o vetor posição pode estar parametrizado em função de um ângulo, como é o caso da circunferência ou da elipse, por exemplo, a gente tem que colocar o parâmetro ângulo θ em função do parâmetro tempo t .

E para fazer isso, é preciso relembrar alguns conceitos. Mas vamos lá:

  • Movimento Circular Uniforme: é quando um corpo se move em uma trajetória circular, com velocidade constante. Nesse caso:
  • θ = θ 0 + θ ˙ t

  • Movimento Circular Uniformemente Variado: é quando um corpo se move em uma trajetória circular, mas tendo sua velocidade variando com uma taxa constante, isto é, com aceleração constante. Nesse caso:

θ = θ 0 + θ ˙ 0 t + 1 2 θ ¨ t ²

Sendo θ a posição angular do corpo, θ 0 a posição angular inicial, θ ˙ a velocidade angular do corpo, θ ˙ 0 a velocidade angular inicial e θ ¨ a aceleração angular.

Observação: Caso o problema seja plano, isto é, σ t = x t ,   y t , basta ignorar o termo z ( t ) nas derivadas e na velocidade escalar.

Regras de derivação

Sejam σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) funções deriváveis de t, C um vetor constante, c um escalar qualquer e f t uma função escalar derivável, então:

  1. d C d t = 0 (Derivada do vetor constante)
  2. d d t c σ 1 ( t ) = c σ 1 ' ( t ) (Multiplicação por um escalar)
  3. d d t σ 1 t ± σ 2 ( t ) = σ 1 ' t ± σ 2 ' ( t ) (Derivada da soma/subtração)
  4. d d t f ( t ) σ 1 ( t ) = f t σ 1 ' t + f ' t σ 1 ( t ) (Regra do produto)
  5. d d t σ 1 t ∙ σ 2 ( t ) = σ 1 ' t ∙ σ 2 t + σ 1 t ∙ σ 2 ' ( t ) (Regra do produto)
  6. d d t σ 1 t × σ 2 ( t ) = σ 1 ' t × σ 2 t + σ 1 t × σ 2 ' ( t ) (Regra do produto)
  7. d d t σ 1 ( f ( t ) ) = σ 1 ' f t f ' ( t ) (Regra da cadeia)

Se você olhar bem, é tudo igual as propriedades que você já aprendeu pra funções de uma variável, só que um pouco adaptadas porque agora estamos falando de vetores.

Vetor Tangente

Vetor tangente é um vetor que tem a mesma direção do movimento. Ele é encontrado derivando o vetor posição.

V t g → = σ ' ( t )

Por exemplo:

σ t = 2 + 3 t 2 , 1 + s e n 2 t 3

V t g → = σ ' t = 6 t , 6 t ² c o s 2 t 3

Se o parâmetro t representa o tempo, V t g → representa o vetor velocidade da partícula.

Assim, a velocidade (e qualquer outra derivada) é um vetor tangente ao deslocamento da partícula, ou seja, aponta sempre na mesma direção do movimento da partícula, à medida que o parâmetro t aumenta.

Podemos encontrar o vetor diretor unitário (chamado de versor) do movimento, isto é, a direção do vetor tangente (e consequentemente da velocidade) dividindo esse vetor pelo seu módulo, assim:

T → = V t g → V t g → = σ ' t σ ' t

Voltando ao exemplo:

V t g → = 6 t 2 + 6 t 2 cos ⁡ 2 t 3 2 = 36 t 2 1 + t 2 cos 2 ⁡ 2 t 3 = 6 t 1 + t 2 c o s 2 2 t 3

U → = V t g → V t g → = 6 t , 6 t ² c o s 2 t 3 6 t 1 + t 2 c o s 2 2 t 3 = 1 1 + t 2 c o s 2 2 t 3 , t c o s 2 t 3 1 + t 2 c o s 2 2 t 3

O vetor U → expressa a direção do movimento. Dessa forma, podemos expressar a velocidade de uma partícula que se move como sendo o produto entre o módulo de sua velocidade (velocidade escalar) e sua direção:

V e l o c i d a d e = ‖ v → ‖ v → v →

Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II,11 ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 238, exercício 1.

r t = t + 1 i + t 2 - 1 j é a posição de uma partícula no plano x y no instante t . Encontre o vetor velocidade da partícula no instante t = 1 .

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Passo 1

Temos:

x t = t + 1

y t = t 2 - 1

Para achar o vetor velocidade temos apenas que derivar cada coordenada do vetor posição

Passo 2

Assim:

x ' t = 1

y ' t = 2 t

Substituindo em t = 1 :

x ' t = 1

y ' ( t ) = 2 1 = 2

Logo, a velocidade da partícula é v t = 1 i + 2 j

Resposta

A velocidade da partícula é v t = 1 i + 2 j

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.22. questão 7.

Dois carros R 1 e R 2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-101 e BR-102, tendo os seus movimentos descritos por

σ 1 t = 10 t , 50 t 2 e σ 2 t = ( 7 t ,   70 t - 50 ) , t ≥ 0

  1. No ponto P onde as estradas BR-101 e BR-102 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre esse ponto P .
  2. Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira é de 80   km / h , qual dos dois será multado no ponto P ?
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Passo 1

Vamos resolver o item (a):

Se as rodoviais se cruzam nesse ponto P , devemos igualar as expressões σ 1 e σ 2 para encontra-lo.

Fazer a igualdade e encontrar sistema:

σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

10 t 1 ,   50 t 1 2 = ( 7 t 2 ,   70 t 2 - 50 )

Logo:

10 t 1 = 7 t 2 50 t 1 2 = 70 t 2 - 50

Passo 2

Resolver o sistema:

Na primeira equação podemos isolar t 2 :

t 2 = 10 7 t 1

E substituindo na segunda equação encontramos que

50 t 1 2 = 70 10 7 t 1 - 50

⇒ t 1 2 - 2 t 1 + 1 = 0

Essa equação do segundo grau admite uma única raiz:

t 1 = 1

Logo:

t 2 = 10 7

Passo 3

Para encontrar o ponto, basta calcular σ 1 ( t 1 ) ou σ 2 ( t 2 ) .

Logo:

σ 1 t 1 = ( 10 ,   50 )

Então:

P = ( 10 ,   50 )

Passo 4

Agora, precisamos saber as velocidades escalares dos dois carros quando passam pelo ponto P para descobrir qual deles ultrapassa 80   km / h .

Calculando velocidades vetoriais:

v 1 t = σ 1 ' t = ( 10 ,   100 t )

v 2 t = σ 2 ' t = ( 7 ,   70 )

Calculando velocidades escalares:

V 1 t = v 1 ( t ) = 10 2 + 100 t 2

V 2 t = v 2 ( t ) = 7 2 + 70 2

Calculando velocidades escalares no ponto P :

V 1 t 1 = 10 2 + 100 t 1 2 = 10 2 + 100 2 ≈ 100,5

V 2 t 2 = 7 2 + 70 2 ≈ 70,3

Logo, é o carro R 1 que será multado no ponto P .

Resposta

  1. P = ( 10 ,   50 )

O carro R 1 será multado no ponto P

Exercício Resolvido #3

Curvas Parametrizadas, Função Vetorial e Matriz Jacobiana

Uma partícula se move de acordo com a lei de movimento r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para t ∈ R .

a) Determinem, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atinge os plano x O z , x O y e y O z