Modelagens com Fator Integrante

Teoria Completa

Introdução

Outras questões que vão aparecer, não vão ser para resolver a equação já bonitinha. Existem problemas, que envolvem extrair a equação do enunciado e resolver utilizando um fator integrante. Vamos ver agora alguns casos que aparecem desse tipo.

Modelagem: tanque

É bem comum aparecer um problema de modelagem envolvendo um tanque, fluxos de entrada e saída de volume e concentração de algum produto químico ou coisa semelhante.

Nesse tipo de problema frequentemente serão dados:

  • Fluxo de entrada e saída (volume por tempo)
  • Concentração de entrada (quantidade por volume): pode ser constante ou uma função em t
  • Volume inicial do tanque
  • Concentração inicial de produto dissolvido

Geralmente, o problema vai exigir calcular a função Q ( t ) - quantidade de material no tempo t

Para resolver esse tipo de problema, o passo a passo é:

  1. Definir

    1. Q ( t ) a quantidade de produto dissolvido
    2. V ( t ) o volume total do tanque
    3. fluxo de entrada
    4. fluxo de saída
    5. c o n c e n t r a ç ã o   d e   e n t r a d a
  2. Determinar as condições iniciais:
    1. V 0 = V 0
    2. Q 0 = Q 0
  3. Verificar V ( t ) :

    1. Se fluxo de entrada = fluxo de saída V t = V 0 = constante
    2. Se fluxo de entrada fluxo de saída
  4. V ' t = fluxo de entrada - fluxo de saída

  5. Modelagem:
  6. Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

    Onde:

    taxa de entrada = fluxo de entrada concentração de entrada

    taxa de saída = fluxo de saída   Q t V t

  7. Resolver PVI para encontrar Q ( t )

Vamos ver isso em um exemplo.

Um tanque contém inicialmente 10 litros de água pura. Injeta-se no tanque uma solução clorada à taxa de 5 L / m i n , contendo 0,4 k g / L . A solução bem misturada é retirada do tanque à taxa de 3 L / m i n . Determine a função Q t da concentração de sal no tanque.

V ' ( t ) = f l u x o e n t r a d a - f l u x o s a i d a = 5 - 3

V ' t = 2

Show! Repare que tá entrando mais líquido que saindo (a entrada é 5 L / m i n e a saída 3 L / m i n ). Isso quer dizer que a gente vai SOMAR esse 2 t na equação do volume:

V t = V 0 + 2 t

Resolvendo a equação separável de V ( t )

V t = V 0 + 2 t = 10 + 2 t

Calculando Q ( t )

Q ' t = t a x a e n t r a d a - t a x a s a i d a

Q ' t = 0,4 × 5 - 3 × Q t V t

Q ' t = 2 - 3 Q t 10 + 2 t

Vamos escrever essa equação no formato de uma EDO de 1ª ordem e resolver.

Q ' t + 3 10 + 2 t Q ( t ) = 2

A t = 3 10 + 2 t B t = 2

Calculando I t = e A t d t

3 10 + 2 t d t = 3 2 ln | ( 5 + t ) |

I t = e 3 2 ln 5 + t = 5 + t 3 2

Calculando I t B t d t

2 5 + t 3 2 d t = 4 5 5 + t 5 2

Utilizando a fórmula para resolução com fator integrante.

Q t = 1 I t I t B t d t + C

Q t = 1 5 + t 3 2 4 5 5 + t 5 2 + C = 4 5 5 + t + C 5 + t 3 2

Agora podemos usar a informação que o tanque no início estava cheio com água pura, ou seja, Q 0 = 0 .

0 = 4 5 5 + 0 + C 5 + 0 3 2

0 = 4 + C 5 5

C = - 20 5

Logo

Q t = 4 5 5 + t - - 20 5 5 + t 3 2

Modelagem: circuitos elétricos

Uma outra modelagem muito comum que vamos ter são os circuitos elétricos. Aqui para chegar nas equações se usa as Leis de Kirchhoff. Não vamos focar nas explicações físicas para isso tudo, o importante aqui é saber como são os circuitos e chegar nas modelagens da corrente ou da carga.

Nas modelagens de circuitos elétricos temos principalmente dois casos:

Circuito em série L-R

Um circuito desse vai ser representado assim.

Esses circuitos vão conter um indutor e um resistor. Aqui vamos ter a EDO para chegar na função da corrente em função do tempo. Essa EDO vai ser

L d i d t + R i = E ( t )

A indutância, L , e a resistência, R , podem ser definidos por constantes ou por funções de t .

Esse E t é a função da Tensão que passa pelo circuito.

Circuitos em série R-C

Um circuito desse vai ser representado assim.

Esses circuitos vão ter um capacitor e um resistor. Aqui vamos ter a EDO para chegar na função da carga em função do tempo. Essa EDO vai ser

R d q d t + 1 C q = E t

A capacitância, C , e a resistência, R , podem ser definidos por constantes ou por funções de t .

Esse E t é a função da Tensão que passa pelo circuito.

Para resolvermos problemas de circuito elétrico temos que levar essas duas equações no bolso e saber quando aplicá-las.

A primeira, nós usamos quando temos um resistor e um indutor e queremos calcular a equação da corrente. A segunda nós usamos quando temos um resistor e um capacitor e queremos calcular a equação da carga elétrica.

Modelagem: Forças resistivas

É comum diversos problemas de física serem resolvidos utilizando equações diferenciais, entre elas as EDO’s de 1ª ordem. No caso da utilização de forças resistivas teremos problemas onde existe algo que gera um impedimento a um movimento.

O valor da força de resistência pode variar dependendo da força resistiva definida na questão, mas, normalmente teremos o seguinte formato.

F r e s = - k v

Onde o sinal negativo surge porque a força irá desacelerar o movimento, k é uma constante de proporcionalidade e v   é a velocidade.

Vamos supor um problema literal onde é aplicado em um corpo uma força F e ele sofre uma força de resistência F r e s . Sabemos de física que o somatório das forças é igual a força resultante que, por sua vez, é igual a m a . Assim

m a = F + F r e s

m d v d t = F - k v  

Dividindo a equação por m   e manipulando teremos.

d v d t + k m v = F m

Agora já temos a nossa EDO de 1ª ordem bonitinha.

Os valores de k ,   m   e   F podem ser constantes, mas também podem ser funções do tempo, isso só vai interferir nas integrais da resolução.

O importante de toda essa parte de modelagem é guardar as equações diferenciais e o que significa cada termo na equação. Se vocês guardarem isso, toda questão vai ser simples.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ, Cálculo 3, Lista 4 do professor Fernando Lopes, Questão 1

Um corpo se move através de um fluido viscoso sob ação de uma força resultante F - K η v , onde K depende da forma do corpo, v é a velocidade do corpo e η é o coeficiente de viscosidade. Obter a velocidade como função do tempo. Suponha que o movimento seja retilíneo, que a força aplicada seja constante e que v 0 = v 0

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Passo 1

Po beleza, ele disse que força resultante é: F - K η v , mas sabemos da física que:

F = m a = m d v d t

Assim:

m d v d t = F - K η v

Logo:

m d v d t + K η v = F

Dividindo tudo por m :

d v d t + K η m v = F m

Opa, é uma EDO linear de ordem 1, né não?!

Passo 2

Partiu resolver:

d v d t + K η m v = F m

Comparando lá com a nossa EDO habitual

d v d t + p t v = g ( t )

Vamos ter

p t = K η m

g t = F m

Passo 3

Vou chamar o que a gente chamava de v de I , porque nesse exercício v é a velocidade

Calcular I x = e p x d x

p t   d t = K η m t

I t = e p t d t = e K η m t

Passo 4

Agora vamos calcular esse termo aqui

I t g t d t

e K η m t F m d t = F K η e K η m t

Passo 5

Encontrar a solução:

v t = 1 I t I t g t d t + C

v t = 1 e K η m t F K η e K η m t + C

v t = F K η + C e - K η m t

Passo 6

Agora, vamos substituir o valor inicial que ele nos deu

Então partiu:

v 0 = v 0 = F K η + c e 0 = F K η + c

Daí temos que:

c = v 0 - F K η

Então a resposta fica:

v t = F K η + v 0 - F K η e - K η m t

Resposta

v t = F K η + v 0 - F K η e - K η m t

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 7 letra “b” - lista 3 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014

Resolva o circuito RL:

Sabendo que as quedas de voltagem são:

Indutor:   L d I d t Resistor:   I R

E que a força eletromotriz é:

V t = V 0 sen w t

E com a lei de Kirchoff: ”A soma algébrica de todas as quedas de tensão em torno de qualquer circuito fechado é nula, ou a tensão aplicada em um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão no resto do circuito.”

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Passo 1

Eita que doidera, né não?

Mas a gente viu na teoria que por essa lei de Kirchoff podemos concluir que:

L d I ( t ) d t + I ( t ) R = V ( t )

Mas sabemos que valor da força eletromotriz é: V t = V 0 sen w t

Assim:

L d I ( t ) d t + I t R = V 0 sen w t

Passo 2

Beleza clã, achamos uma EDO linear de primeira ordem, né? Vamos dividir tudo por L :

d I ( t ) d t + R L I t = V 0 L sen w t

p t = R L g t = V 0 L sen w t

Passo 3

Calcular a integral p t d t sem adicionar a constante e ache v t = e p t d t

p t d t = R L d t = R L t

Assim ficou :

p t d t = R L t

v t = e p t d t

v t = e R L t

Passo 4

Calcular a integral g t v ( t ) d t

V 0 L sen w t e R L t d t

V 0 L sen ( w t ) e R L t d t

Essa integral pode ser resolvida por duas integrações por partes:

sen ( w t ) e R L t d t

Chama de :

w = e R L t d w = R L e R L t d z = sen w t d t z = - 1 w cos w t

Assim:

sen ( w t ) e R L t d t = - 1 w e R L t cos w t + R w L cos w t e R L t d t

cos w t e - R L sen t d t = ?

Mesma coisa:

w = e R L t d w = R L e R L t d z = cos w t z = 1 w sen w t

sen ( w t ) e R L sen t d t = - 1 w e R L t cos w t + R w L 1 w e R L t sen w t - R w L sen w t e R L t d t

Perceba que a integral que apareceu na esquerda é igual à da direita, então podemos passar ela para o mesmo lado e colocar ela em evidência:

1 + R 2 w 2 L 2 sen ( w t ) e - R L t d t = - 1 w e R L t cos w t + R w 2 L e R L t sen w t

Assim:

sen ( w t ) e - R L sen t d t = - 1 w e R L t cos w t 1 + R 2 w 2 L 2 + R w 2 L e R L t sen w t 1 + R 2 w 2 L 2

Negócio tá ficando bizarro o.O, mas simbora:

sen ( w t ) e - R L sen t d t = - w L 2 e R L t cos w t w 2 L 2 + R 2 + R L   e R L t sen w t w 2 L 2 + R 2

Negócio tá ficando bizarro o.O, mas simbora:

sen ( w t ) e - R L sen t d t = e R L t w 2 L 2 + R 2 R L sen w t - w L 2 cos w t

Então:

V 0 L e R L t w 2 L 2 + R 2 ( R L sen w t - w L 2 cos w t )

Vamos tentar dar uma ajeitada pra ficar com uma aparência melhor:

V 0 e R L t w 2 L 2 + R 2 R sen w t - w Lcos w t

V 0 e R L t w L w 2 L 2 + R 2 R w L sen w t - cos w t

Passo 5

Então qual é a cara da solução?

I t = 1 v t g t v t d t + C

I ( t ) = V 0 e R L t w L w 2 L 2 + R 2 R w L sen w t - cos w t e - R L t + C e - R L t

I ( t ) = V 0 w L w 2 L 2 + R 2 R w L sen w t - cos w t + C e - R L t

Bem bem, essa já é a resposta do problema, mas para dar a resposta do gabarito um paranauê precisa ser feito. Se a gente usar essa identidade trigonométrica aqui:

a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sen x + arctg b a

A gente consegue reescrever essa bagaça dessa forma:

R w L sen w t - cos w t = R 2 w 2 L 2 + - 1 2 sen w t - arctg w L R

Isso é bastante usado no mundo da vibração, mas por aqui ainda é meio assustador, mas é trigonometria!

R w L sen w t - cos w t = R 2 + W 2 L 2 w L sen w t - arctg w L R

Subtituindo:

y = V 0 w L w 2 L 2 + R 2 R 2 + W 2 L 2 w L sen w t - arctg w L R + C e - R L t

Assim, finalmente:

y = V 0 sen w t - arctg w L R R 2 + W 2 L 2 + C e - R L t

Uuuuuufaaaaa!!!!

Resposta

y = V 0 sen w t - arctg w L R R 2 + W 2 L 2 + C e - R L t

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.1, Questão 2

Considere um tanque que possui 1000 litros de água pura. Suponha que ele comece a receber produtos químicos, completamente diluídos em água, a uma taxa de 200 litros por hora, e que a concentração desses produtos na água que ali está entrando varia periodicamente com o tempo t (medido em horas), de acordo com a fórmula

f t = 5 + sen t 100 quilogramas por litro

A solução então é misturada completamente e sai do tanque também à taxa de 200 litros por hora. Determine a quantidade de produtos químicos (em quilogramas) que permanece no tanque após t horas.

Lembrete:

e a t sen t d t = 1 a 2 + 1 e a t a sen t - cos t + C ,   C R   , a 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Definições:

Q ( t ) – quantidade (em quilogramas) de produtos químicos no tanque no tempo t

V ( t ) – volume total da solução

fluxo de entrada = 200   l / h

fluxo de saída = 200   l / h

concentração de entrada = f t = 5 + sen t 100

Passo 2

Condições iniciais:

V 0 = 1000   l

Q 0 = 0 (água pura inicialmente)

Passo 3

Verificar V ( t ) :

fluxo de entrada = fluxo de saída

Então o volume é constante:

V t = V 0 = 1000

Passo 4

Modelagem:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

Calculemos a taxa de entrada:

taxa de entrada = fluxo de entrada concentração de entrada

taxa de entrada = ( 200   l / h ) 5 + sen t 100   kg / l    

taxa de entrada = 2 5 + sen t   kg / h

Calculemos a taxa de saída:

taxa de saída = fluxo de saída   Q t V t

taxa de saída = ( 200   l / h ) Q t 1000   kg / l

taxa de saída = Q t 5 kg / h

Substituindo na equação:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

Q ' t = 2 5 + sen t - Q t 5

Q ' t + 1 5 Q ( t ) = 2 5 + sen t

Logo:

Q ' t + 1 5 Q t = 2 5 + sen t Q 0 = 0

Passo 5

Colocar a equação na forma Q ' t + A t Q t = B ( t ) :

Já está! Vamos ao próximo passo!

Passo 6

Encontrar A ( t ) e B ( t ) :

Comparando as duas equações:

Q ' t + A t Q t = B ( t ) Q ' t + 1 5 Q t = 10 + 2 sen t

A t = 1 5 B t = 10 + 2 sen t

Passo 7

Calcular a integral A t   d t sem adicionar a constante:

A t   d t = 1 5 d t

1 5 d t = t 5

A t   d t = t 5

Passo 8

Calcular fator integrante:

I t = e A t   d t = e t 5

I t = e t 5

Passo 9

Calcular a integral I t B t   d t sem adicionar a constante:

I t B t d t = e t 5 10 + 2 sen t   d t

e t 5 ( 10 + 2 sen t ) d t = 10 e t 5   d t + 2 e t 5 sen t d t

Calculando a primeira integral:

e t 5   d t = 5 e t 5

Calculando a segunda integral:

e t 5 sen t d t

Vamos usar o lembrete que o enunciado forneceu:

e a t sen t d t = 1 a 2 + 1 e a t a sen t - cos t + C

Substituindo a = 1 5 e lembrando que não adicionamos a constante:

e 1 5 t sen t d t = 1 1 5 2 + 1 e 1 5 t 1 5 sen t - cos t

e 1 5 t sen t d t = 1 1 25 + 1 e t 5 1 5 sen t - cos t

e 1 5 t sen t d t = 25 26 e t 5 1 5 sen t - cos t

Ufa! Agora é só substituir a primeira e segunda integral que calculamos:

e t 5 ( 10 + 2 sen t ) d t = 10 e t 5 d t + 2 e t 5 sen t d t

e t 5 10 + 2 sen t d t = 10 5 e t 5 + 2 25 26 e t 5 1 5 sen t - cos t

e t 5 10 + 2 sen t d t = e t 5 50 + 25 13 1 5 sen t - cos t

Pronto! Então:

I t B ( t ) d t = e t 5 50 + 25 13 1 5 sen t - cos t

Passo 10

Encontrar a solução:

Q t = 1 e t 5 e t 5 50 + 25 13 1 5 sen t - cos t + c

Q t = 50 + 25 13 1 5 sen t - cos t + c e - t 5

Passo 11

Encontrar solução particular caso seja um PVI:

Q 0 = 0

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q 0 = 50 + 25 13 1 5 sen 0 - cos 0 + c e - 0 5

Q 0 = 50 + 25 13 0 - 1 + c 1

Q 0 = 50 - 25 13 + c

Substituindo na condição inicial:

Q 0 = 0

50 - 25 13 + c = 0

c = 25 13 - 50

Fazendo uma continha:

c = 25 - 50 13 13

c = - 625 13

Substituindo a constante na solução geral:

Q t = 50 + 25 13 1 5 sen t - cos t - 625 13 e - t 5

Q t = 50 + 5 13 sen t - 25 13 cos t - 625 13 e - t 5

Resposta

Q t = 50 + 5 13 sen t - 25 13 cos t - 625 13 e - t 5

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