Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Mudança pra uma variável

Vimos uma maneira de calcular limites de funções de 2 variáveis, que é o teorema do Sanduíche.

Agora vamos ver uma outra técnica para calcular limites. A ideia é fazer uma mudança de variáveis e cair num limite com só uma variável. Depois disso, basta calcular normalmente, no estilo cálculo 1!

E quando fazemos isso?

É bom aplicar essa mudança de variável quando você identificar expressões repetidas dentro do limite.

Por exemplo:

lim x , y → 1,0 ⁡ x 2 - 3 y - 1 2 x 2 - 3 y - 1

Substituindo os valores:

lim x , y → 1,0 ⁡ 1 - 0 - 1 2 1 - 0 - 1

Caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

Podemos ver que a expressão x 2 - 3 y - 1 se repete no numerador e no denominador, então vamos chamá-la de u :

u = x 2 - 3 y - 1

E quando x , y → 1 ,   0 temos

u → 1 - 0 - 1 = 0

Então o limite fica:

lim u → 0 ⁡ u 2 u = lim u → 0 ⁡ u = 0

Esse foi um exemplo bem simples. Mas um tipo clássico de exercício é um que, depois de passar pra uma variável, você tem que usar a regra de l’Hôpital. Então é bom lembrar como se usa! :)

Um exemplo que os professores e livros adoram é com a função exponencial:

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 3 y 2 - 1 x 3 y 2

Substituindo os valores:

lim x , y → 0,0 ⁡ e 0 - 1 0

E como esperado, caímos numa indeterminação “ 0 0 ”.

Mas aí reparamos que o termo x 3 y 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos aproveitar isso pra fazer uma mudança de variável!

Digamos

u = x 3 y 2

Assim:

x , y → 0 ,   0 ⇒ u → 0

O limite fica:

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u

Agora que só temos uma variável, podemos aplicar l’Hôpital! Derivando em cima e em baixo:

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = lim u → 0 ⁡ e u 1

Beleza, saímos da indeterminação! Agora podemos substituir u = 0   no limite:

lim u → 0 ⁡ e u 1 = e 0 1 = 1 1 = 1

Então é isso! Nos exercícios de fixação tem vários com l’Hôpital, dá uma olhada lá depois! :)

Mudanças de variáveis especiais

Talvez em algum exercício você se depare com algum desses tipos de mudanças de variáveis.

Ao contrário das que já vimos, não diminuímos o número de variáveis no limite, mas mesmo assim elas podem ser bem úteis!

Pra não perder seu tempo, não vou entrar em grandes detalhes aqui, mas tem exercícios de fixação com esse tipo de mudança de variável, beleza?

Coordenadas Polares:

Usando as coordenadas polares, fazemos a mudança de variável

x = r cos ⁡ t y = r sen ⁡ t

Assim, passamos das variáveis x , y pras variáveis r ,   t . (Aliás, pode ser θ em vez de t ).

Basicamente usamos a passagem pras coordenadas polares quando aparece o termo x 2 + y 2 , porque

x 2 + y 2 = r cos ⁡ t 2 + r sen ⁡ t 2

= r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sen 2 ⁡ t = r 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

⇒ x 2 + y 2 = r 2

Então assim acabamos passando pra uma variável mesmo.

Coordenadas esféricas:

Essa dificilmente vai aparecer, e é pro caso de um limite com 3 variáveis. Fazemos a mudança

x = r sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = r sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = r cos ⁡ ϕ

Usar essa mudança de variável pra calcular limite, só se aparecer o termo x 2 + y 2 + z 2 , porque

x 2 + y 2 + z 2 =   r sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 +   r sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ 2 + r cos ⁡ ϕ 2

= r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ

= r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ

= r 2 sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

⇒ x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Pronto, é isso! Resumindo,

  • coordenadas polares: x 2 + y 2 = r 2
  • coordenadas esféricas: x 2 + y 2 + z 2 = r 2
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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2

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Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y .

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = e 1 1 - 1 2 + 0 2 . 1 - 1 2 + 0 2 = e 1 0 . 0 = e ∞ . 0 = ∞ . 0

Temos uma indeterminação. Repara que temos uma função se repetindo ali no limite, no caso essa função é x - 1 2 + y 2 . Podemos usar a mudança de variáveis

u = x - 1 2 + y 2

Além disso

x , y → 1,0 ⇒ u → 1 - 1 2 + 0 2 = 0

Então

u → 0

Esse limite vai ficar

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Agora temos um limite onde podemos usar regra de L’hospital.

Passo 2

Temos que resolver

lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Já vimos que dá uma indeterminação do tipo ∞ . 0 então vamos usar L’hospital

lim u → 0 ⁡ e 1 u . u = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 . - u - 2 - u - 2 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 = e 1 0 = ∞

Isso nos diz que

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = ∞

Logo ele não existe.

Resposta

Não existe

Exercício Resolvido #2

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 944 - 12

Calcule o limite fazendo a substituição z = x 2 + y 2 e observando que z → 0 + se, e somente se, x , y → 0 ,   0 .

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2  

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Passo 1

Vamos fazer a substituição que ele recomendou:

z = x 2 + y 2

⇒ lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim z → 0 + ⁡ e - 1 z z  

Beleza, isso virou um limite de uma só variável, estilo cálculo 1!

Passo 2

Repare que nós caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”. Mas antes de sair mandando l’Hôpital e se ferrar nas contas, eu tenho uma sugestão: fazer mais uma mudança de variável!

Isso porque o termo 1 z , que não é bacana de se trabalhar, está aparecendo duas vezes no limite. Então vamos definir

u = 1 z

Temos

z → 0 + ⇒ u → + ∞

Então nosso limite ficou:

lim u → + ∞ ⁡ u e - u

Passo 3

Caímos de novo numa indeterminação, agora do tipo “ ∞ × 0 ”. Então vamos melhorar isso aí:

lim u → + ∞ ⁡ u e - u = lim u → + ∞ ⁡ u e u

Ahh, agora sim podemos mandar l’Hôpital!! Aliás, esse limite clássico de cara vemos que vai dar zero. Enfim, derivando vamos ter:

lim u → + ∞ ⁡ u e u = lim u → + ∞ ⁡ 1 e u = 0

Portanto, voltando ao nosso limite inicial, temos:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

0

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 944 – 21

Calcule o limite, se existir, convertendo para coordenadas polares.

lim x , y → 0,0 ⁡ y ln ⁡ x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando, as coordenadas polares são:

x = r cos ⁡ t   y = r sen ⁡ t

E assim temos

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = r 2

Então, com as coordenadas polares, nossa expressão dentro do limite vai ser:

r sen ⁡ ( t ) ln ⁡ r 2

E como ln ⁡ r 2 = 2 ln ⁡ r isso dá:

2 r sen ⁡ t ln ⁡ ( r )

Passo 2

Estamos calculando o limite nos aproximado da origem, fazendo x , y → 0 ,   0 . E o r das coordenadas polares é justamente a distância à origem. Logo,

x , y → 0,0 ⇒ r → 0

E como temos um logaritmo, cujo argumento deve ser positivo, vamos nos aproximar de zero só pela direita:

r → 0 +

Então, nosso limite é:

lim r → 0 + ⁡ 2 r sen ⁡ t ln ⁡ r