Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Teoria Completa

Olá, pessoal! Tudo bom? Então, o nosso papo aqui é sobre máximo e mínimo globais. Vamos lá!

Quando nós temos uma região fechada, os nossos primeiros passos para encontrar um máximo e mínimo global são: achar os pontos críticos da função e depois verificar quais que estão dentro da região fechada ou na fronteira.

Mas se eu tenho uma região aberta? Como eu vou saber quais pontos críticos considerar? Então, nesse caso a gente vai considerar TODOS os pontos críticos da função.

Parece trabalhoso, né? Mas relaxa, que é mais simples do que você imagina. Vem comigo e vamos resolver o exemplo abaixo,

f x , y = x 2 + 2 x + y 2 - 2 y + 2

A gente quer saber qual é o máximo ou mínimo global dessa função. Vamos de um passo a passo então

Passo 1: Achar o ponto crítico

Para isso, nós tem que achar o nosso ∇ f x , y e igualar a zero. E a gente faz isso derivando,

∇ f x , y = ( 0,0 )

∇ f x , y = 2 x + 2,2 y - 2 = ( 0,0 )

O único ponto crítico é P 0 = - 1,1 , ou seja, é o único ponto onde o nosso ∇ f x , y vai zerar. Como ele é o único ponto, se houver máximo ou mínimo global de f ele ocorrerá nesse ponto.

Passo 2: Descobrir se esse ponto é um máximo ou mínimo global

A gente começa substituindo o nosso ponto crítico P 0 = - 1,1 na função,

f - 1,1 = - 1 2 + 2 - 1 + 1 2 - 2 1 + 2

f - 1,1 = 0

Pronto, vimos que a função zera nesse ponto, mas agora a gente precisa mostrar que esse é um ponto de máximo ou mínimo!

Então, galerinha, para fazer isso, eu vou dar uma mexidinha nela, pois assim a gente vai enteder melhor como ela funciona!

f x , y = x 2 + 2 x + y 2 - 2 y + 1 + 1

f x , y = x 2 + 2 x + 1   + y 2 - 2 y + 1  

f x , y = x + 1 2 + y - 1 2

Repara que a nossa função é a soma de dois termos que estão ao quadrado, ou seja, ela é sempre positiva. Em outras palavras,

f x , y ≥ 0

Opa, lembra que nosso P 0 deu zero! Então significa que ele é um ponto de mínimo, pois a nossa função é sempre maior que zero. Mas agora nós temos que mostrar que ele é mínimo global. Ou seja, mostrar que f - 1,1 ≤ f x , y .

Repara que a gente já fez isso quando vimos que a função é uma soma de termos ao quadrado. Olha aqui:

Como,

f x , y ≥ 0

E,

f - 1,1 = 0

Logo, f - 1,1 ≤ f x , y para todo x , y   ∈   R 2 . Portanto P 0 = - 1,1 é ponto de mínimo global.

Vamos dar uma olhada no gráfico da função,

Aqui no gráfico a gente consegue ver esse mínino, mas repara que a gente não precisou desenhá-lo para achar o nosso ponto crítico.

Resumindo...

Quando quisermos descobrir qual o máximo e mínimo de uma região aberta, vamos seguir dois passos:

  1. Encontrar o ponto crítico da função, P 0
  2. Mostrar que ele é um máximo ou mínimo global:

- Para máximo global mostrar que f ( P 0 ) ≥ f x , y .

- Para mínimo global mostrar que f ( P 0 ) ≤ f x , y .

Para gente ficar craque nisso precisamos treinar com outras funções. Então, partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = 3 - 2 x 2 - 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar calculando os pontos críticos da função:

∂ f x , y ∂ x = - 4 x = 0

x = 0

∂ f x , y ∂ y = - 4 y = 0

y = 0

Portanto o único ponto crítico é:

P 0 = 0,0

Passo 2

Se houver máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto P 0 = 0,0 . Agora perceba o seguinte:

f x , y = 3 - 2 x 2 + y 2

O maior valor da função ocorre quando x , y = 0,0 , pois:

0 ≤ x 2 + y 2

Multiplicando por - 2 a inequação:

0 ≥ - 2 x 2 + y 2

3 ≥ 3 - 2 x 2 + y 2

Ou seja:

3 ≥ f x , y

Logo, o valor máximo de f x , y é 3, e isso ocorre no ponto crítico P 0 = 0,0 . Logo, o ponto de máximo global da função ocorre em 0,0 .

Resposta

Máximo global em 0,0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = - 2 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar calculando os pontos críticos da função:

∂ f x , y ∂ x = - 4 x = 0

x = 0

∂ f x , y ∂ y = 2 y = 0

y = 0

Portanto o único ponto crítico é:

P 0 = 0,0

Passo 2

Se houver máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto P 0 = 0,0 .

Sabemos que f P 0 = 0 , porém se pegarmos um ponto qualquer da forma 0 , y por exemplo 0,1 , a função assume valores positivos: f 0,1 = 1 . Logo P 0 = 0,0 não pode ser ponto de máximo global, pois f 0,0 < f 0,1 .

Além disso, perceba que se pegarmos um ponto da forma x , 0 , por exemplo 1,0 , a função irá assumir valores negativos: f 1,0 = - 2 . Logo P 0 = 0,0 não pode ser ponto de mínimo global, pois f 0,0 > f 1,0 .

Logo, a função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio.

Resposta

A função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio.

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