Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta

Teoria Completa

Agora estamos interessados em encontrar os máximos e mínimos globais de uma função de várias variáveis numa região aberta, ou seja, em todo domínio da função. Para isso, faremos o seguinte:

Primeiro vamos encontrar os pontos críticos da função, pois se houver máximos e mínimos globais no domínio dessa função, eles estarão entre os pontos críticos. A próxima coisa a se fazer é verificar se algum desses pontos críticos são máximos e mínimos globais.

Imagine o ponto crítico a , b de uma função f . Se conseguirmos provar que f ( a , b ) ≤ f x , y para todo x , y do domínio de f , então f tem um mínimo absoluto em a , b . Porém, se f ( a , b ) ≥ f x , y para todo x , y do domínio de f , então f tem um máximo absoluto em a , b .

Por exemplo:

f x , y = x 2 + 2 x + y 2 - 2 y + 2

Para encontrar máximos e mínimos absolutos dessa função, primeiro, vamos começar encontrando os pontos críticos. Temos:

∇ f x , y = ( 0,0 )

2 x + 2,2 y - 2 = ( 0,0 )

Assim, o único ponto crítico é P 0 = - 1,1 e se houver máximo ou mínimo global de f ele ocorrerá nesse ponto.

Agora repare o seguinte, podemos escrever f x , y = x + 1 2 + y - 1 2 . A função é a soma de dois termos elevado ao quadrado. Então, o menor valor que f pode assumir é zero, e isso ocorre exatamente no ponto crítico P 0 = - 1,1 .

Logo, f - 1,1 ≤ f x , y para todo x , y   ∈   R 2 . Portanto P 0 = - 1,1 é ponto de mínimo global.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = 3 - 2 x 2 - 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar calculando os pontos críticos da função:

∂ f x , y ∂ x = - 4 x = 0

x = 0

∂ f x , y ∂ y = - 4 y = 0

y = 0

Portanto o único ponto crítico é:

P 0 = 0,0

Passo 2

Se houver máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto P 0 = 0,0 . Agora perceba o seguinte:

f x , y = 3 - 2 x 2 + y 2

O maior valor da função ocorre quando x , y = 0,0 , pois:

0 ≤ x 2 + y 2

Multiplicando por - 2 a inequação:

0 ≥ - 2 x 2 + y 2

3 ≥ 3 - 2 x 2 + y 2

Ou seja:

3 ≥ f x , y

Logo, o valor máximo de f x , y é 3, e isso ocorre no ponto crítico P 0 = 0,0 . Logo, o ponto de máximo global da função ocorre em 0,0 .

Resposta

Máximo global em 0,0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = - 2 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar calculando os pontos críticos da função:

∂ f x , y ∂ x = - 4 x = 0

x = 0

∂ f x , y ∂ y = 2 y = 0

y = 0

Portanto o único ponto crítico é:

P 0 = 0,0

Passo 2

Se houver máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto P 0 = 0,0 .

Sabemos que f P 0 = 0 , porém se pegarmos um ponto qualquer da forma 0 , y por exemplo 0,1 , a função assume valores positivos: f 0,1 = 1 . Logo P 0 = 0,0 não pode ser ponto de máximo global, pois f 0,0 < f 0,1 .

Além disso, perceba que se pegarmos um ponto da forma x , 0 , por exemplo 1,0 , a função irá assumir valores negativos: f 1,0 = - 2 . Logo P 0 = 0,0 não pode ser ponto de mínimo global, pois f 0,0 > f 1,0 .

Logo, a função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio.

Resposta

A função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas