Teorema de Weierstrass

Teoria Completa

MAZOQUE qué isso?

Olá, pessoal! A gente vem falando de máximos e mínimos desde quando só tratávamos de funções com uma variável, mas vocês já pararam para se fazer a seguinte pergunta: será que toda função tem esses pontos críticos em determinado conjunto?

Opa, quem vai te ajudar a responder isso não sou eu, não. É o Teorema de Weierstrass ou Teorema dos Valores Extremos.

O teorema diz o seguinte: se f é uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado D , então f tem valores extremos absolutos em D .

A definição não ajudou muito? Vamos praticar com um exemplo:

f x , y = l n x 2 + y 2

D : x , y ; x 2 + y 2 ≤ 4

A gente quer saber se nossa f x , y possui máximos e mínimos globais dentro de D .

Então, galerinha, na prática, só o que temos que fazer é verificar se essas condições (destacada em negrito logo acima) se aplicam no caso de interesse para garantirmos (ou não) a existência de máximos e mínimos globais em D .

Vamos começar!

  1. Verificar se a função é contínua
  2. Então, galerinha, se voltar lá no tópico sobre continuidade vai ver que uma função é continua quando

    lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ f x , y = f x 0 , y 0

    Mas, relaxa, que você não vai precisar fazer esse limite sempre, não. Vou te relembrar algumas funções “macetadas” que quase sempre são continuas: polinômios (lembrando que se ele tiver no denominador não pode zerar, hein), trigonométricas (seno e cosseno), exponenciais e logarítmicas.

    Opa, a nossa f x , y é uma função logarítmica, então é continua! Primeira condição verificada. Vamos para próxima!

  3. Verificar se D é fechado
  4. Para verificar se um conjunto é fechado, devemos observar se ele contém sua fronteira nele. Na prática vamos verificar se ele tem um sinal de ou na equação que define a região D .

    Por exemplo, o nosso conjunto x 2 + y 2 ≤ 4 é fechado, pois contém sua fronteira (tem o sinal de igual). Veja

    Em outras palavras, a borda círculo faz parte de D .

    Mas, se liga, se a equação fosse somente x 2 + y 2 < 4 , esse conjunto não seria fechado, pois não tem o sinal de igual).

    Então a segunda condição foi verificada. D é fechado! Agora vamos para última!

  5. Verificar se   D é limitado

Um conjunto limitado é aquele que não se estende pelo infinito, ou seja, ele está sempre contido em algum outro conjunto.

Na prática, vamos verificar se alguma bola (círculo no R 2 ou esfera no R 3 ) com um raio qualquer e centro na origem contém totalmente o conjunto dado.

No nosso exemplo nós temos, x 2 + y 2 ≤ 4 , que é um círculo com raio 4 . Então, ele caberia dentro de outro círculo de raio de 5 , né? Então, nosso conjunto é limitado!

Pronto! Última condição verificada, então a nossa f x , y possui máximos e mínimos globais dentro de D .

Mas, galerinha, antes de me despedir de vocês nesse tópico, vamos ver outras situações que podem aparecer para verificarmos se o conjunto é limitado:

Por exemplo, o conjunto x 2 + y 2 < 1 não é fechado. Porém ele é limitado.

Isso porque pegando um círculo centrado em 0,0 , com raio igual a r = 2 , por exemplo, verificamos que o conjunto se encontra totalmente dentro dele. Veja a figura:

Já o conjunto x ≤ 1 é fechado pois contém a sua fronteira: x = 1 , porém não é limitado. Não conseguimos encontrar um círculo com centro na origem e com um raio fixo que contenha totalmente o conjunto. Graficamente:

Só lembrando que o Teorema de Weierstrass nos diz se uma f x , y possui máximos e mínimos globais dentro de D ou não. Ele não nos ajuda a encontrar esses valores de extremos, ok?

Então, partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função

f x , y = - 2 x 2 + y 2

No conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = - 2 x 2 + y 2

É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

D = x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 1

Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1 , 1 . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região D é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1,1 .

Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em 1,1 e um raio grande, por exemplo, r = 100 para garantir que o conjunto D está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região D é limitada.

Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de f x , y = - 2 x 2 + y 2   no conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 .

Resposta

Podemos afirmar a existência de valores extremos da função f no conjunto D .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Podemos garantir que o problema de maximização da função :

f x , y = s e n e x y 2

Sujeito as restrições x < 1   e   y < 1 , tem solução?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = s e n e x y 2

Perceba que o argumento da função está definido para todo R 2 . Além disso, a função seno é contínua em seu domínio. Logo a função f é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

- 1 < x < 1   e - 1 < y < 1

Que é o interior de um quadrado, porém não contendo a fronteira, ou seja, seus lados. Logo a função não é fechada.

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Resposta

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Podemos garantir que o problema de minimização da função :

f x , y = e x + y + z

Sujeito as restrições   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1 , tem solução?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = e x + y + z

É uma função exponencial, então é contínua em todo R 3 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

  x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Compreende a casca cilíndrica e o interior do cilindro circular. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira (casca cilíndrica), o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0 , 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 100 . Podemos afirmar que o conjunto   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

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