Teorema de Weierstrass

Teoria Completa

MAZOQUE qué isso?

O teorema de Weierstrass ou teorema dos Valores extremos é um teorema que diz que se f é uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado D , então f tem valores extremos absolutos em D .

Na prática, só o que temos que fazer é verificar se essas condições se aplicam no caso de interesse para garantirmos (ou não) a existência de máximos e mínimos globais em D .

Para verificar se um conjunto é fechado, devemos observar se ele contém sua fronteira. Isso acontece quando temos um sinal de ou na equação que define a região D .

Por exemplo, o conjunto x 2 + y 2 ≤ 1 é fechado, pois contém sua fronteira (tem o sinal de igual). Veja

Mas, se a equação fosse somente x 2 + y 2 < 1 , esse conjunto não seria fechado, pois não tem o sinal de igual).

Já um conjunto limitado é aquele que não se estende pelo infinito, ou seja, ele está sempre contido em algum outro conjunto.

Na prática, vamos verificar se alguma bola (círculo no R 2 ou esfera no R 3 ) com um raio qualquer e centro na origem contém totalmente o conjunto dado.

Por exemplo, o conjunto x 2 + y 2 < 1 não é fechado. Porém ele é limitado.

Isso porque pegando um círculo centrado em 0,0 , com raio igual a r = 2 por exemplo, verificamos que o conjunto se encontra totalmente dentro dele. Veja a figura:

Já o conjunto x ≤ 1 é fechado pois contém a sua fronteira: x = 1 , porém não é limitado. Não conseguimos encontrar um círculo com centro na origem e com um raio fixo que contenha totalmente o conjunto. Graficamente:

Ah, e não esquece também que tem que verificar a continuidade da função!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função

f x , y = - 2 x 2 + y 2

No conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 ?

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Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = - 2 x 2 + y 2

É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

D = x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 1

Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1 , 1 . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região D é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1,1 .

Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em 1,1 e um raio grande, por exemplo, r = 100 para garantir que o conjunto D está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região D é limitada.

Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de f x , y = - 2 x 2 + y 2   no conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 .

Resposta

Podemos afirmar a existência de valores extremos da função f no conjunto D .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Podemos garantir que o problema de maximização da função :

f x , y = s e n e x y 2

Sujeito as restrições x < 1   e   y < 1 , tem solução?

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Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = s e n e x y 2

Perceba que o argumento da função está definido para todo R 2 . Além disso, a função seno é contínua em seu domínio. Logo a função f é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

- 1 < x < 1   e - 1 < y < 1

Que é o interior de um quadrado, porém não contendo a fronteira, ou seja, seus lados. Logo a função não é fechada.

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Resposta

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Podemos garantir que o problema de minimização da função :

f x , y = e x + y + z

Sujeito as restrições   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1 , tem solução?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = e x + y + z

É uma função exponencial, então é contínua em todo R 3 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

  x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Compreende a casca cilíndrica e o interior do cilindro circular. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira (casca cilíndrica), o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0 , 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 100 . Podemos afirmar que o conjunto   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

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