Teorema De Weiestrass

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre o Teorema de Weierstrass.

Por mais que esse negócio aí pareça nome de cerveja 🍻, não se engana não! Esse teorema vai ser usado pra descobrirmos se uma função tem pontos críticos em determinado conjunto.

Melhor que cerveja, né? ☺️

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O que diz o Teorema de Weierstrass?

O Teorema de Weierstrass, também conhecido como Teorema dos Valores Extremos, diz de maneira bem objetiva:

Se é uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado , então tem valores extremos absolutos em .

Tranquilo, né?

Só repara que esse teorema vai nos contar se a função tem ou não os máximos e mínimos dentro do intervalo, mas ele não nos conta quem são esses caras!!!

Isso aí é uma maneira bem mais simples de saber se a função tem valores extremos do que ficar fazendo teste da primeira derivada. Quer ver como?

Como usar o Teorema de Weierstrass?

Para saber se uma função possui máximos e mínimos globais dentro de um intervalo , pelo Teorema de Weierstrass, vamos seguir os seguintes passos:

  • Verificar se a função é contínua.
  • Verificar se o intervalo é fechado.
  • Verificar se o intervalo é limitado.

Só isso!

Se liga no exemplo pra deixar tudo mais claro 👇

Exemplo: Verifique se possui máximos e mínimos globais dentro de .

Passo 1: Verificar se é contínua.

Começamos vendo se a função é contínua. Fazemos isso por meio do limite:

Essa aí é a definição formal pra verificar se uma função é contínua.

Mas a gente não tá ligando muito pra formalidade não, né? Se liga, como é uma função logarítmica de termos ao quadrado, então ela é sim contínua!

Passo 2: Verificar se é fechado.

Para verificar se um conjunto é fechado, devemos observar se ele contém sua própria fronteira.

Como assim?

Na prática é só verificar se a equação que o define tem um sinal de ou .

É muito importante que tenha aquele tracinho embaixo ali, viu? Se for só ou o conjunto não vai ser fechado!

Aqui, nosso conjunto é fechado.

Passo 3: Verificar se é limitado.

Um conjunto limitado é aquele que não vai para o infinito, ou seja, ele tá sempre contido em algum outro conjunto.

Aqui no nosso exemplo, a gente tem um conjunto com equação . Essa é a equação de um círculo de raio 4, lembra?

Então, nosso conjunto é limitado por qualquer outro círculo de raio maior!

Então a gente já pode concluir pelo Teorema de Weierstrass que a função possui máximos e mínimos dentro de .

Ponto extra se você calcular esses caras 😉

Exemplo: Verifique se possui máximos e mínimos globais dentro de .

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função

f x , y = - 2 x 2 + y 2

No conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 ?

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = - 2 x 2 + y 2

É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

D = x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 1

Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1 , 1 . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região D é o interior e a fronteira da circunferência de raio r = 1 e centro em 1,1 .

Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em 1,1 e um raio grande, por exemplo, r = 100 para garantir que o conjunto D está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região D é limitada.

Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de f x , y = - 2 x 2 + y 2   no conjunto D = x 2 + y 2 - 2 x + y - 1 ≤ 1 .

Resposta

Podemos afirmar a existência de valores extremos da função f no conjunto D .

Exercício Resolvido #2

Podemos garantir que o problema de maximização da função :

f x , y = s e n e x y 2

Sujeito as restrições x < 1   e   y < 1 , tem solução?

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = s e n e x y 2

Perceba que o argumento da função está definido para todo R 2 . Além disso, a função seno é contínua em seu domínio. Logo a função f é contínua em todo R 2 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:

- 1 < x < 1   e - 1 < y < 1

Que é o interior de um quadrado, porém não contendo a fronteira, ou seja, seus lados. Logo a função não é fechada.

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Resposta

Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.

Exercício Resolvido #3

Podemos garantir que o problema de minimização da função :

f x , y = e x + y + z

Sujeito as restrições   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1 , tem solução?

Passo 1

Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:

Começamos verificando a continuidade da função f x , y = e x + y + z

É uma função exponencial, então é contínua em todo R 3 .

Passo 2

Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:

  x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Compreende a casca cilíndrica e o interior do cilindro circular. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira (casca cilíndrica), o conjunto é fechado.

Passo 3

Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em 0 , 0,0 e comum raio suficientemente grande como r = 100 . Podemos afirmar que o conjunto   x 2 + y 2 ≤ 1   ; - 1 ≤ z ≤ 1

Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

Resposta

Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.

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