Integrais e Problema de Valor Inicial

Teoria Completa

O que são Problemas de Valor Inicial?

Um problema de valor inicial está quase sempre na forma: d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

E pede a expressão de y . Ou seja, temos:

  • A expressão para derivada.
  • O valor da função num ponto.

E queremos a expressão da função.

Resolvendo um problema de valor inicial

Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco:

d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

Queremos y x , e temos sua derivada: d y d x = y ' x = 2 x + 1

Pra achar y x , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar!

Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:

d y d x = 2 x + 1 ⟹ d y = 2 x + 1 d x

Agora, aplicamos a integral em cada lado:

d y = 2 x + 1 d x ⟹ ∫ d y = ∫ 2 x + 1 d x

Vamos ver cada integral separadamente. A da esquerda vai dar: ∫ d y = ∫ 1 ⋅ d y = y + C 1

Nada de esquecer a constante hein!!

E a integral da direita é: ∫ 2 x + 1 d x = x 2 + x + C 2

Substituindo: y + C 1 = x 2 + x + C 2

Isolando y : y = x 2 + x + C 2 - C 1

Para ficar mais elegante, podemos chamar C 2 - C 1 de C :

y x = x 2 + x + C

Veja que já temos uma expressão geral para y . Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial:

y 0 = 5

Nesse ponto, temos:

y 0 = 0 2 + 0 + C = 5

C = 5

Substituindo, ficamos com: y x = x 2 + x + 5

Ou seja, o valor de y num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema.

Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso!

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Exercício Resolvido #1

Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 26

Resolva o problema de valor inicial: d y d x = x 2 x 2 + 1 y 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos y ' x e queremos y x . Para chegar lá, colocamos cada infinitesimal num lado da primeira equação: d y d x = x 2 x 2 + 1 ⟹ d y = x 2 x 2 + 1 d x

Passo 2

Agora, aplicamos a integral nos dois lados:

∫ d y = ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Para a integral à esquerda, temos:

∫ d y = y + C 1

Para a integral à direita, podemos fazer a substituição: u = 2 x 2 + 1

Ficando com: d u = 2 x 2 + 1 ' d x = 4 x d x

Resultando em:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = 1 4 ∫ d u u = 1 4 ∫ u - 1 / 2 d u =

1 4 u 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4 ⋅ 2 ⋅ u 1 / 2 = 1 2 u 1 / 2 + C 2

Voltando a x :

… = 1 2 2 x 2 + 1 + C 2

Passo 3

Agora substituímos o que encontramos na equação: ∫ d y = ∫ x 2 x 2 + 1 d x ⟹ y + C 1 = 1 2 2 x 2 + 1 + C 2  

Isolamos y e escrevemos as constantes como C :

y = 1 2 2 x 2 + 1 + C 2 - C 1

y = 1 2 2 x 2 + 1 + C

Passo 4

Para achar o valor de C para o PVI, usamos a segunda informação do problema: y 0 = 1

y 0 = 1 2 2 ⋅ 0 2 + 1 + C ⟹ 1 2 + C = 1 ⟹ C = 1 2

Assim, a solução será: y x = 1 2 2 x 2 + 1 + 1 2

Resposta

y = 1 2 2 x 2 + 1 + 1 2

Exercício Resolvido #2

Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 29

Resolva o problema de valor inicial:

f ' x = 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x f π 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos escrever f ' x como:

f ' x = y ' = d y d x = 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x

Levando a:

d y d x = 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x f π 2 = 0

Primeiramente, vamos isolar cada infinitesimal:

d y d x = 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x ⟹ d y = 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x d x

Passo 2

Como queremos y e temos y ' , vamos integrar dos dois lados: ∫ d y = ∫ 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x d x

A integral da esquerda fica: ∫ d y = y + C 1

Para a integral da direita, podemos escrever: 1 - sen 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Ficando com: ∫ 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x d x =

1 2 ∫ sen ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x d x

Para a primeira integral, fazemos a substituição u = 2 x , levando a d u = 2 d x e:

1 2 ∫ sen ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ sen ⁡ u d u = - 1 4 cos ⁡ u + C 2 = - 1 4 cos ⁡ 2 x + C 2

Para a segunda, fazemos a substituição w = sen ⁡ 2 x , levando a d w = 2 cos ⁡ 2 x d x e:

1 2 ∫ cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ w d w = 1 8 w 2 + C 3 = 1 8 sen 2 ⁡ 2 x + C 3

Logo: ∫ 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x d x = - 1 4 cos ⁡ 2 x + 1 8 sen 2 ⁡ 2 x + C 2 + C 3

Passo 3

Agora, substituímos tudo na equação: ∫ d y = ∫ 1 - sen 2 ⁡ x sen ⁡ 2 x d x

y + C 1 = - 1 4 cos ⁡ 2 x + 1 8 sen 2 ⁡ 2 x + C 2 + C 3

Isolando y e considerando C = C 2 + C 3 - C 1 : y = - 1 4 cos ⁡ 2 x + 1 8 sen 2 ⁡ 2 x + C 2 + C 3 - C 1 =

y = - 1 4 cos ⁡ 2 x + 1 8 sen 2 ⁡ 2 x + C

Passo 4

Para achar C , usamos a segunda informação do problema: f π 2 = y π 2 = 0

Substituindo: y π 2 = - 1 4 cos ⁡ 2 ⋅ π 2 + 1 8 sen 2 ⁡ 2 ⋅ π 2 + C =

- 1 4 cos ⁡ π + 1 8 sen 2 ⁡ π + C = 1 4 + C = 0

C = - 1 4

Com isso, substituímos o valor de C para finalizar o problema:

y = - 1 4 cos ⁡ 2 x + 1 8 sen 2 ⁡ 2 x - 1 4