Teoria Completa
Quando aprendemos a integrar, usamos a área de vários retângulos para se aproximar da integral.
Aqui na figura, eu separei em 4 retângulos para você ver melhor, mas na real você pode separar em infinitos retângulos. Com isso, a gente pode escrever essa relação da seguinte forma,
Onde, é a soma de Riemann para esses infinitos retângulos.
Mas por que eu to relembrando isso? Porque pode ser que a questão peça para você resolver a integral utilizando a soma de Riemann e é isso que vamos aprender agora.
Soma de Riemann pela Esquerda e pela Direita
Agora vamos aprender a escrever a soma de Riemann em si, ou seja, aquele .
Voltando com o exemplo que vimos no início de integral. Nós queremos calcular a área embaixo da função entre e .
Agora vamos dividir essa área em retângulos!
Repara que sempre sobra um espaço entre o retângulo e a curva! Quando nós desenhamos assim, a gente esta subestimando a área e estamos fazendo a Soma de Riemann pela Esquerda, pois é o lado esquerdo do retângulo que toca a curva.
Mas a gente também poderia desenhar dessa forma aqui,
Repara que sempre sobra uma parte do retângulo sobre a curva! Quando nós desenhamos assim, a gente está superestimando a área e estamos fazendo a Soma de Riemann pela Direita, pois é o lado direito do retângulo que toca a curva.
Entendido isso, vamos achar o pela Esquerda!
A base do retângulo está no eixo e o tamanho dela irá variar de acordo com quantidade de retângulos dentro daquele espaço. Deste modo, Costumamos usar para representar essa base.
Neste caso, nós dividimos a área em 4 retângulos que vão de 0,6 até 1,4 no eixo . Para achar o tamanho da base do retângulo podemos fazer o seguinte cálculo:
Para achar a área dos retângulos, falta só achar a altura. Repara que altura do retângulo é limitada pela função naquele ponto. A altura do primeiro é , a altura do segundo é , a do terceiro é e do quarto é . Então calculando área de cada retângulo temos,
Aqui a nossa soma de Riemann vai ser
Mas essa soma foi para retângulos. E como fazemos para retângulos, em um determinado limite compreendido entre e ?
Agora, vamos calcular a área do o primeiro retângulo
A fórmula da base ficará
Onde: é o número total dentro daquela área (na figura só desenhei o primeiro); é o limite de integração superior; e é o limite de integração inferior.
Já a altura será dada pela função no ponto . Então temos que a área do primeiro retângulo ficará assim,
Agora vamos para o segundo retângulo,
Agora a altura será dada pela função no ponto ,
Indo para o terceiro retângulo, a gente vai incluir mais um para achar a altura e ficará assim,
Repara que temos um padrão, a cada novo retângulo que for somar, eu vou incluir um para achar minha altura. Então a fórmula geral ficará,
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Reforçando, que neste caso para achar as alturas dos retângulos, usamos no início do retângulo, ou seja, na sua esquerda. Isso é o que chamamos de Soma de Riemann pela esquerda.
E Soma de Riemann pela direita? O raciocínio é semelhante, mas o que vai mudar é o . Então a fórmula ficará assim,
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
Escrevendo a soma de Riemann pelo Símbolo de Somatório
Agora que definimos quem é , eu preciso te contar uma coisa: uma forma que pode aparecer na sua prova é essa soma com o somatório. Você deve ta pensando “como assim?”, vamos começar entendendo esse símbolo
Esse símbolo representa a soma de alguns termos , variando os índices de à . Assim,
Como eu falei, a gente já definiu quem é . Então vamos usar isso para escrever a soma de Riemann por somatório:
Soma pela esquerda
Soma pela direita
Qual das somas escolher?
Bem aqui precisamos de um detalhe importante, uma das somas vai ter valor maior que a Integral, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não
Sempre que tivermos uma função crescente a ordem vai ser essa
Quando tivermos uma função decrescente essa ordem vai ser invertida
Beleza?
Escolher pela esquerda ou direita depende do que o problema pede e da função que você tem.
Partiu exercícios?
Achando a Integral pela Soma de Riemann
Aqui vamos ver como converter o somatório da soma de Riemann em integral!!
Vamos ver um exemplo
Dada o seguinte limite da soma de Riemann
Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo .
A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o e o . Então podemos achar
A nossa soma é
O cara dentro do somatório pode ser achado sempre por
Então precisamos ter
Vamos trocar os valores de , e
Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é , mas podia ser o intervalo de integração também.
Temos
Agora vamos chamar o cara dentro da de ,
Assim a nossa função vai ser
E pronto, temos a nossa função
Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço
A integral vai ficar
É basicamente isso que vamos precisar fazer nesses casos, vamos repassar o passo a passo
Passo 1 – Achar em função de , e
Passo 2 – Fazer igual ao valor dentro do somatório, substituindo , e que tivermos.
Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral
Passo 4 – Resolver a Integral
Exercício Resolvido #1
Dada a função
Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.
Passo 1
Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Com
Passo 2
Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de , então
Além disso temos os valores do intervalo então
Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma
O valor de vai ser
Agora vamos achar os valores de
Passo 3
A soma vai ficar
Passo 4
Vamos agora para a soma pela direita
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
Passo 5
No caso da soma pela direita vamos ter levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.
Repara que o não entra nessa conta e o que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.
O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.
Passo 6
A soma vai ficar
Passo 7
Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de .
Como é crescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dada a função
Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo .
Compare os dois valores encontrados.
Passo 1
Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Com
Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como mesmo.
Além disso temos os valores do intervalo então
Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma
O valor de vai ser
Agora vamos achar os valores de
A soma vai ficar
Que vai ser
Dando uma arrumada vamos ter
Passo 2
Vamos agora para a soma pela direita
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
O valor de não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com e terminando com
O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.
A soma vai ficar
Arrumando isso
Passo 3
Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são
Repara que o termo geral é igual, mas um começa com e termina em e outro começa em e termina em
Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.
Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de até o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo do primeiro somatório e o termo do segundo:
Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que é uma função decrescente.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dada o seguinte limite da soma de Riemann
Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo .
Passo 1
Temos que comparar aquela soma de Riemann com a fórmula da soma de Riemann para acharmos , e para podermos fazer a integral.
Ele deu no intervalo de integração, então temos
E