Achar a Integral pela Soma de Riemann

Teoria Completa

Soma de Riemann pela Esquerda e pela Direita

Nós vimos no início de integral que usamos retângulos para aproximar as integrais.

Tínhamos que a integral era o limite da soma de Riemann quando pegávamos os retângulos bem pequenos em grande quantidade.

lim n → ∞ ⁡ S n = ∫ a b f x d x

Agora vamos aprender a escrever a soma de Riemann em si, ou seja, aquele S n .

Temos que ir atrás da soma dos retângulos!

Voltando com o exemplo que vimos no início de integral

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Vimos que podemos pegar quantos retângulos quisermos, depende só se pegamos os retângulos por cima ou por baixo, ou seja, por retângulos maiores que a área ou por retângulos menores que a área.

Na verdade, podemos ver esses retângulos de outra forma, que são por retângulos à esquerda e retângulos à direta. Agora embolou a parada toda né?

Vamos rever as duas situações que pegamos. Se liga que o intervalo vai de 0,6 à 1,4 .

A primeira coisa que vamos fazer é descobrir essa base, na figura temos 4 retangulos, então a base vai ser

B a s e = 1,4 - 0,6 4 = 0,8 4 = 0,2

Costumamos usar Δ x para representar essa base.

Para achar a área dos retângulos falta agora a sua altura.

Na primeira figura, o retângulo tem a altura sendo a função no início dessa base, por exemplo:

A altura do primeiro é f 0,6 , a altura do segundo é f 0,8 , a do terceiro é f 1 e do quarto é f 1,2 .

A área de cada retângulo vai ser

Á r e a   P r i m e i r o ⇒ f 0,6 ∙ 0,2 Á r e a   S e g u n d o ⇒ f 0,8 ∙ 0,2 Á r e a   T e r c e i r o ⇒ f 1 ∙ 0,2 Á r e a   Q u a r t o ⇒ f 1,2 ∙ 0,2

Aqui a nossa soma de Riemann vai ser

S 4 = f 0,6 ∙ 0,2 + f 0,8 ∙ 0,2 + f 1 ∙ 0,2 + f 1,2 ∙ 0,2

Mas essa soma foi para 4 retângulos, como fazemos para n ? Temos que mudar a base e os valores da função

Δ x = 1,4 - 0,6 n = 0,8 n

Beleza, mas e as alturas dos retângulos? A primeira vai ser f 0,6 mesmo, a próxima eu tenho que somar Δ x no 0,6 e fazer de novo. Ficando

Á r e a   P r i m e i r o ⇒ f 0,6 ∙ 0,8 n Á r e a   S e g u n d o ⇒ f 0,6 + 0,8 n ∙ 0,8 n Á r e a   T e r c e i r o ⇒ f 0,6 + 2 0,8 n ∙ 0,8 n Á r e a   Q u a r t o ⇒ f 0,6 + 3 0,8 n ∙ 0,8 n Á r e a   n - é s i m o ⇒ f 0,6 + n - 1 0,8 n ∙ 0,8 n

S n = f 0,6 ∙ 0,8 n + f 0,6 + 0,8 n ∙ 0,8 n + … + f 0,6 + ( n - 1 ) 0,8 n ∙ 0,8 n

Temos que substituir a função f x = x 2 aqui, mas como estamos só mostrando as contas vou deixar com f mesmo. A soma é essa coisa horrível mesmo, mas só com exercício que vamos ficar craques nisso.

Essa fórmula pode ser escrita de forma geral, queremos a soma de Riemann de a à b de f x :

Primeiro o valor de Δ x

Δ x = b - a n

Agora a soma

S n = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n - 1 ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Repara que para as alturas dos retângulos usamos f x no início do retângulo, ou seja, na sua esquerda. Isso é o que chamamos de Soma de Riemann pela esquerda.

Fazendo umas contas bem parecidas conseguimos chegar na fórmula da Soma de Riemann pela direita. Vamos deixar bem arrumadinho aqui para te ajudar

Primeiro Δ x

Δ x = b - a n

Soma de Riemann pela esquerda

Agora a soma

S n = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n - 1 ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Soma de Riemann pela direita

S n =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Escrevendo a soma de Riemann pelo Símbolo de Somatório

Uma forma que pode aparecer na sua prova é essa soma com o somatório.

Vamos começar entendendo esse símbolo

∑ i = 0 n i 2

Esse símbolo representa a soma de alguns termos. Esses termos são dados pela fórmula nele, e variando os índices de i = 0 à n . Seria

∑ i = 0 n i 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + … + n 2

Agora vamos escrever a soma de Riemann por somatório:

Soma pela esquerda

S n = ∑ i = 0 n - 1 f a + i Δ x Δ x

Soma pela direita

S n = ∑ i = 1 n f a + i Δ x Δ x

Qual das somas escolher?

Bem aqui precisamos de um detalhe importante, uma das somas vai ter valor maior que a Integral, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não

Sempre que tivermos uma função crescente a ordem vai ser essa

S d i r e i t a > A > S e s q u e r d a

Quando tivermos uma função decrescente essa ordem vai ser invertida

S e s q u e r d a > A > S d i r e i t a

Beleza?

Escolher pela esquerda ou direita depende do que o problema pede e da função que você tem.

Partiu exercícios?

Achando a Integral pela Soma de Riemann

Aqui vamos ver como converter o somatório da soma de Riemann em integral!!

Vamos ver um exemplo

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo 0,1 .

A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o a e o b . Então podemos achar Δ x

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

A nossa soma é

S n = ∑ i = 1 n i 4 n 5

O cara dentro do somatório pode ser achado sempre por

f a + i Δ x ∙ Δ x

Então precisamos ter

f a + i Δ x ∙ Δ x = i 4 n 5

Vamos trocar os valores de a , b e Δ x

f 0 + i n 1 n = i 4 n 5

Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é f x , mas podia ser o intervalo de integração também.

Temos

f i n = i 4 n 4

Agora vamos chamar o cara dentro da f de x ,

i n = x → i = x n

Assim a nossa função vai ser

f x = x 4 n 4 n 4 = x 4

E pronto, temos a nossa função f x

Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 x 4 d x

A integral vai ficar

∫ 0 1 x 4 d x = x 5 5 x = 0 1 = 1 5 5 - 0 5 5 = 1 5

É basicamente isso que vamos precisar fazer nesses casos, vamos repassar o passo a passo

Passo 1 – Achar Δ x em função de a , b e n

Passo 2 – Fazer f a + i Δ x Δ x igual ao valor dentro do somatório, substituindo a , b e Δ x que tivermos.

Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral

Passo 4 – Resolver a Integral

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dada a função

f x = x 2           0 ≤ x ≤ 2

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando 8 retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Passo 2

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de n , então

n = 8

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 0

b = 2

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

S 8 e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x 7 ⋅ Δ x

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 2 - 0 8 = 1 4

Agora vamos achar os valores de x i

x 0 = a = 0

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

Passo 3

A soma vai ficar

S 8 e s q u e r d a = 0 2 . 1 4 + 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4

S 8 e s q u e r d a = 0 + 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 140 64 = 35 16

Passo 4

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Passo 5

No caso da soma pela direita vamos ter x i levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

x 8 = a + 8 . Δ x = 0 + 8 1 4 = 8 4 = 2

Repara que o x 0 não entra nessa conta e o x 8 que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

Passo 6

A soma vai ficar

S 8 d i r e i t a = 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4 + 2 2 . 1 4

S 8 d i r e i t a = 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64 + 1

S 8 d i r e i t a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 64

S 8 d i r e i t a = 204 64 = 51 16

Passo 7

Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de A .

Como x 2 é crescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

Resposta

S 8 e s q u e r d a = 35 16

S 8 d i r e i t a = 51 16

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a função

f x = 1 x

Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo 1,5 .

Compare os dois valores encontrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n - 1 ⋅ Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 f x i ∙ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como n mesmo.

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 1

b = 5

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 5 - 1 n = 4 n

Agora vamos achar os valores de x i

x i = a + i Δ x

x i = 1 + i . 4 n

A soma vai ficar

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 f 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Que vai ser

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 1 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Dando uma arrumada vamos ter

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 n n + 4 i ∙ 4 n

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

Passo 2

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n f x i ∙ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

O valor de x i não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com x 1 e terminando com x n

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

A soma vai ficar

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n f 1 + i . 4 n ∙ 4 n

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 1 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Arrumando isso

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

Passo 3

Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

Repara que o termo geral é igual, mas um começa com i = 0 e termina em i = n - 1 e outro começa em i = 1 e termina em i = n

Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i - ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de i = 1 até i = n - 1 o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo i = n do primeiro somatório e o termo i = 0 do segundo:

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 n + 4 n - 4 n + 4.0

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 4 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 20 5 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = - 16 5 n

Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que 1 x é uma função decrescente.

Resposta

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

S n e s q u e r d a - S n d i r e i t a = - 16 5 n

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n 4 i 5