Achar a Integral pela Soma de Riemann

Teoria Completa

Quando aprendemos a integrar, usamos a área de vários retângulos para se aproximar da integral.

Aqui na figura, eu separei em 4 retângulos para você ver melhor, mas na real você pode separar em infinitos retângulos. Com isso, a gente pode escrever essa relação da seguinte forma,

lim n → ∞ ⁡ S n = ∫ a b f x d x

Onde, S n é a soma de Riemann para esses infinitos retângulos.

Mas por que eu to relembrando isso? Porque pode ser que a questão peça para você resolver a integral utilizando a soma de Riemann e é isso que vamos aprender agora.

Soma de Riemann pela Esquerda e pela Direita

Agora vamos aprender a escrever a soma de Riemann em si, ou seja, aquele S n .

Voltando com o exemplo que vimos no início de integral. Nós queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Agora vamos dividir essa área em retângulos!

Repara que sempre sobra um espaço entre o retângulo e a curva! Quando nós desenhamos assim, a gente esta subestimando a área e estamos fazendo a Soma de Riemann pela Esquerda, pois é o lado esquerdo do retângulo que toca a curva.

Mas a gente também poderia desenhar dessa forma aqui,

Repara que sempre sobra uma parte do retângulo sobre a curva! Quando nós desenhamos assim, a gente está superestimando a área e estamos fazendo a Soma de Riemann pela Direita, pois é o lado direito do retângulo que toca a curva.

Entendido isso, vamos achar o S n pela Esquerda!

A base do retângulo está no eixo x e o tamanho dela irá variar de acordo com quantidade de retângulos dentro daquele espaço. Deste modo, Costumamos usar Δ x para representar essa base.

Neste caso, nós dividimos a área em 4 retângulos que vão de 0,6 até 1,4 no eixo x . Para achar o tamanho da base do retângulo podemos fazer o seguinte cálculo:

Δ x = 1,4 - 0,6 4 = 0,8 4 = 0,2

Para achar a área dos retângulos, falta só achar a altura. Repara que altura do retângulo é limitada pela função f x naquele ponto. A altura do primeiro é f 0,6 , a altura do segundo é f 0,8 , a do terceiro é f 1 e do quarto é f 1,2 . Então calculando área de cada retângulo temos,

Aqui a nossa soma de Riemann vai ser

S 4 =   A I + A I I + A I I I + A I V

S 4 = f 0,6 ∙ 0,2 + f 0,8 ∙ 0,2 + f 1 ∙ 0,2 + f 1,2 ∙ 0,2

Mas essa soma foi para 4 retângulos. E como fazemos para n retângulos, em um determinado limite compreendido entre a e b ?

Agora, vamos calcular a área do o primeiro retângulo

A fórmula da base ficará

Δ x = b - a n

Onde: n é o número total dentro daquela área (na figura só desenhei o primeiro); b é o limite de integração superior; e a é o limite de integração inferior.

Já a altura será dada pela função no ponto a . Então temos que a área do primeiro retângulo ficará assim,

A I = f a . ∆ x

Agora vamos para o segundo retângulo,

Agora a altura será dada pela função no ponto ( a + ∆ x ) ,

A I I = f a + ∆ x . ∆ x

Indo para o terceiro retângulo, a gente vai incluir mais um ∆ x para achar a altura e ficará assim,

A I I I = f a + 2 ∆ x . ∆ x

Repara que temos um padrão, a cada novo retângulo que for somar, eu vou incluir um ∆ x para achar minha altura. Então a fórmula geral ficará,

S n = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n - 1 ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Reforçando, que neste caso para achar as alturas dos retângulos, usamos f x no início do retângulo, ou seja, na sua esquerda. Isso é o que chamamos de Soma de Riemann pela esquerda.

E Soma de Riemann pela direita? O raciocínio é semelhante, mas o que vai mudar é o i . Então a fórmula ficará assim,

S n =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Escrevendo a soma de Riemann pelo Símbolo de Somatório

Agora que definimos quem é i , eu preciso te contar uma coisa: uma forma que pode aparecer na sua prova é essa soma com o somatório. Você deve ta pensando “como assim?”, vamos começar entendendo esse símbolo

∑ i = 0 n i 2

Esse símbolo representa a soma de alguns termos i ² , variando os índices de i = 0 à n . Assim,

∑ i = 0 n i 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + … + n 2

Como eu falei, a gente já definiu quem é i . Então vamos usar isso para escrever a soma de Riemann por somatório:

Soma pela esquerda

S n = ∑ i = 0 n - 1 f a + i Δ x Δ x

Soma pela direita

S n = ∑ i = 1 n f a + i Δ x Δ x

Qual das somas escolher?

Bem aqui precisamos de um detalhe importante, uma das somas vai ter valor maior que a Integral, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não

Sempre que tivermos uma função crescente a ordem vai ser essa

S d i r e i t a > A > S e s q u e r d a

Quando tivermos uma função decrescente essa ordem vai ser invertida

S e s q u e r d a > A > S d i r e i t a

Beleza?

Escolher pela esquerda ou direita depende do que o problema pede e da função que você tem.

Partiu exercícios?

Achando a Integral pela Soma de Riemann

Aqui vamos ver como converter o somatório da soma de Riemann em integral!!

Vamos ver um exemplo

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo 0,1 .

A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o a e o b . Então podemos achar Δ x

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

A nossa soma é

S n = ∑ i = 1 n i 4 n 5

O cara dentro do somatório pode ser achado sempre por

f a + i Δ x ∙ Δ x

Então precisamos ter

f a + i Δ x ∙ Δ x = i 4 n 5

Vamos trocar os valores de a , b e Δ x

f 0 + i n 1 n = i 4 n 5

Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é f x , mas podia ser o intervalo de integração também.

Temos

f i n = i 4 n 4

Agora vamos chamar o cara dentro da f de x ,

i n = x → i = x n

Assim a nossa função vai ser

f x = x 4 n 4 n 4 = x 4

E pronto, temos a nossa função f x

Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5 = ∫ 0 1 x 4 d x

A integral vai ficar

∫ 0 1 x 4 d x = x 5 5 x = 0 1 = 1 5 5 - 0 5 5 = 1 5

É basicamente isso que vamos precisar fazer nesses casos, vamos repassar o passo a passo

Passo 1 – Achar Δ x em função de a , b e n

Passo 2 – Fazer f a + i Δ x Δ x igual ao valor dentro do somatório, substituindo a , b e Δ x que tivermos.

Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral

Passo 4 – Resolver a Integral

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Dada a função

f x = x 2           0 ≤ x ≤ 2

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando 8 retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Passo 2

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de n , então

n = 8

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 0

b = 2

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

S 8 e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + … + f x 7 ⋅ Δ x

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 2 - 0 8 = 1 4

Agora vamos achar os valores de x i

x 0 = a = 0

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

Passo 3

A soma vai ficar

S 8 e s q u e r d a = 0 2 . 1 4 + 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4

S 8 e s q u e r d a = 0 + 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 140 64 = 35 16

Passo 4

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Passo 5

No caso da soma pela direita vamos ter x i levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

x 8 = a + 8 . Δ x = 0 + 8 1 4 = 8 4 = 2

Repara que o x 0 não entra nessa conta e o x 8 que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

Passo 6

A soma vai ficar

S 8 d i r e i t a = 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4 + 2 2 . 1 4

S 8 d i r e i t a = 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64 + 1

S 8 d i r e i t a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 64

S 8 d i r e i t a = 204 64 = 51 16

Passo 7

Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de A .

Como x 2 é crescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

Resposta

S 8 e s q u e r d a = 35 16

S 8 d i r e i t a = 51 16

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a função

f x = 1 x

Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo 1,5 .

Compare os dois valores encontrados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 ∙ Δ x +   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n - 1 ⋅ Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 f x i ∙ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como n mesmo.

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 1

b = 5

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 5 - 1 n = 4 n

Agora vamos achar os valores de x i

x i = a + i Δ x

x i = 1 + i . 4 n

A soma vai ficar

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 f 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Que vai ser

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 1 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Dando uma arrumada vamos ter

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 n n + 4 i ∙ 4 n

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

Passo 2

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 ⋅ Δ x + f x 2 ⋅ Δ x + f x 3 ⋅ Δ x + … + f x n ⋅ Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n f x i ∙ Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

O valor de x i não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com x 1 e terminando com x n

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

A soma vai ficar

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n f 1 + i . 4 n ∙ 4 n

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 1 1 + i . 4 n ∙ 4 n

Arrumando isso

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

Passo 3

Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

Repara que o termo geral é igual, mas um começa com i = 0 e termina em i = n - 1 e outro começa em i = 1 e termina em i = n

Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i - ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de i = 1 até i = n - 1 o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo i = n do primeiro somatório e o termo i = 0 do segundo:

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 n + 4 n - 4 n + 4.0

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 4 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 20 5 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = - 16 5 n

Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que 1 x é uma função decrescente.

Resposta

S n e s q u e r d a = ∑ i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = ∑ i = 1 n 4 n + 4 i

S n e s q u e r d a - S n d i r e i t a = - 16 5 n

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n → + ∞ ⁡ S n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n 4 i 5