Teoria Completa
Soma de Riemann pela Esquerda e pela Direita
Nós vimos no início de integral que usamos retângulos para aproximar as integrais.
Tínhamos que a integral era o limite da soma de Riemann quando pegávamos os retângulos bem pequenos em grande quantidade.
Agora vamos aprender a escrever a soma de Riemann em si, ou seja, aquele .
Temos que ir atrás da soma dos retângulos!
Voltando com o exemplo que vimos no início de integral
Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função entre e .
Vimos que podemos pegar quantos retângulos quisermos, depende só se pegamos os retângulos por cima ou por baixo, ou seja, por retângulos maiores que a área ou por retângulos menores que a área.
Na verdade, podemos ver esses retângulos de outra forma, que são por retângulos à esquerda e retângulos à direta. Agora embolou a parada toda né?
Vamos rever as duas situações que pegamos. Se liga que o intervalo vai de à .
A primeira coisa que vamos fazer é descobrir essa base, na figura temos retangulos, então a base vai ser
Costumamos usar para representar essa base.
Para achar a área dos retângulos falta agora a sua altura.
Na primeira figura, o retângulo tem a altura sendo a função no início dessa base, por exemplo:
A altura do primeiro é , a altura do segundo é , a do terceiro é e do quarto é .
A área de cada retângulo vai ser
Aqui a nossa soma de Riemann vai ser
Mas essa soma foi para retângulos, como fazemos para ? Temos que mudar a base e os valores da função
Beleza, mas e as alturas dos retângulos? A primeira vai ser mesmo, a próxima eu tenho que somar no e fazer de novo. Ficando
Temos que substituir a função aqui, mas como estamos só mostrando as contas vou deixar com mesmo. A soma é essa coisa horrível mesmo, mas só com exercício que vamos ficar craques nisso.
Essa fórmula pode ser escrita de forma geral, queremos a soma de Riemann de à de :
Primeiro o valor de
Agora a soma
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Repara que para as alturas dos retângulos usamos no início do retângulo, ou seja, na sua esquerda. Isso é o que chamamos de Soma de Riemann pela esquerda.
Fazendo umas contas bem parecidas conseguimos chegar na fórmula da Soma de Riemann pela direita. Vamos deixar bem arrumadinho aqui para te ajudar
Primeiro
Soma de Riemann pela esquerda
Agora a soma
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Soma de Riemann pela direita
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
Escrevendo a soma de Riemann pelo Símbolo de Somatório
Uma forma que pode aparecer na sua prova é essa soma com o somatório.
Vamos começar entendendo esse símbolo
Esse símbolo representa a soma de alguns termos. Esses termos são dados pela fórmula nele, e variando os índices de à . Seria
Agora vamos escrever a soma de Riemann por somatório:
Soma pela esquerda
Soma pela direita
Qual das somas escolher?
Bem aqui precisamos de um detalhe importante, uma das somas vai ter valor maior que a Integral, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não
Sempre que tivermos uma função crescente a ordem vai ser essa
Quando tivermos uma função decrescente essa ordem vai ser invertida
Beleza?
Escolher pela esquerda ou direita depende do que o problema pede e da função que você tem.
Partiu exercícios?
Achando a Integral pela Soma de Riemann
Aqui vamos ver como converter o somatório da soma de Riemann em integral!!
Vamos ver um exemplo
Dada o seguinte limite da soma de Riemann
Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo .
A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o e o . Então podemos achar
A nossa soma é
O cara dentro do somatório pode ser achado sempre por
Então precisamos ter
Vamos trocar os valores de , e
Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é , mas podia ser o intervalo de integração também.
Temos
Agora vamos chamar o cara dentro da de ,
Assim a nossa função vai ser
E pronto, temos a nossa função
Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço
A integral vai ficar
É basicamente isso que vamos precisar fazer nesses casos, vamos repassar o passo a passo
Passo 1 – Achar em função de , e
Passo 2 – Fazer igual ao valor dentro do somatório, substituindo , e que tivermos.
Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral
Passo 4 – Resolver a Integral
Exercício Resolvido #1
Dada a função
Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.
Passo 1
Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Com
Passo 2
Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de , então
Além disso temos os valores do intervalo então
Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma
O valor de vai ser
Agora vamos achar os valores de
Passo 3
A soma vai ficar
Passo 4
Vamos agora para a soma pela direita
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
Passo 5
No caso da soma pela direita vamos ter levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.
Repara que o não entra nessa conta e o que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.
O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.
Passo 6
A soma vai ficar
Passo 7
Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de .
Como é crescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dada a função
Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo .
Compare os dois valores encontrados.
Passo 1
Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Com
Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como mesmo.
Além disso temos os valores do intervalo então
Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma
O valor de vai ser
Agora vamos achar os valores de
A soma vai ficar
Que vai ser
Dando uma arrumada vamos ter
Passo 2
Vamos agora para a soma pela direita
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
O valor de não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com e terminando com
O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.
A soma vai ficar
Arrumando isso
Passo 3
Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são
Repara que o termo geral é igual, mas um começa com e termina em e outro começa em e termina em
Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.
Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de até o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo do primeiro somatório e o termo do segundo:
Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que é uma função decrescente.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dada o seguinte limite da soma de Riemann