Teorema Fundamental do Cálculo

Teoria Completa

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = ∫ a x f ( t ) d t                 a ≤ x ≤ b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = ∫ 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = ∫ 1 sen ⁡ x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen ⁡ x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen ⁡ x

h   x = ∫ 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = ∫ 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

⇒ g ' u x = e sen 2 ⁡ x

E

u ' x = cos ⁡ x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = ∫ a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t = ∫ e x C ln ⁡ t 2 d t + ∫ C 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

∫ e x C ln ⁡ t 2 d t = - ∫ C e x ln ⁡ t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t = - ∫ C e x ln ⁡ t 2 d t +   ∫ C 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x → 0 ⁡ 1 x ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

∫ a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t x = lim x → 0 ⁡ ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x → 0 ⁡ e sen ⁡ x 2 cos ⁡ x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 1

Calcular a derivada:

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

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Passo 1

O que esse exercício está pedindo? Observa que ele está me pedindo uma derivada em relação a x , pois eu tenho d f x d x .

Só que quem é o f ( x ) ?

f x =   ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t

No fundo, o que ele quer é f ' x .

E aí? Não tá com cara de que teremos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1? Viu como às vezes reescrever o problema já facilita?

Passo 2

Agora que já sabemos o que o problema está querendo, identificamos que o limite superior da integral é a função u x = x 3 .

Portanto, para achar a derivada f ' ( x ) , teremos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável t por x 3 . Depois, multiplicamos pela derivada de x 3 .

f ' x = t 2 + 1 3   .   ( x 3 ) '

f ' x = x 6 + 1 3   .   3 x 2

É isso.

Resposta

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x = x 6 + 1 3 3 x 2

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 - 1

Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .
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Passo 1

a) Queremos achar a derivada de uma função em x e essa função é definida como uma integral e a expressão dentro da integral tem como variável t . Sinto cheiro de Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas pera aí, observe que caímos naquele caso em que o x está no limite inferior e a constante no limite superior. Nesse caso é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites, lembra?

A gente simplesmente inverte os limites da integração e coloca um sinal de menos na frente da integral. Então utilizando a propriedade fica assim:

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

Passo 2

Agora sim nós podemos aplicar nosso maravilhoso Teorema Fundamental do Cálculo. Bom, já que temos agora que:

f x = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

E dado que a função 1 1 + t 4 é contínua no intervalo 2 , + ∞ então podemos aplicar o teorema nesse caso, chegando nisso aqui:

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Observação: olha como essa questão foi maneira com a gente, o que está no limite da integral é x simplesmente e não uma função de x , o que vai nos poupar a fadiga de usar a regra da cadeia (todos comemoram \o/).

Passo 3

O que a questão pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + ( 1 ) 4 = - 1 2

Passo 4

b) Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. E como que achamos a reta tangente? Vamos fazer igual quando fazíamos lá em derivadas:

y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como ele pede para o ponto   1 , f 1 :

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

Para a nossa alegria, já temos o valor de f ' ( 1 ) que calculamos no passo anterior, agora vamos encontrar f ( 1 )

Passo 5

Ok, perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 . Isso significa que esse é o valor de f ( x ) no ponto x = 1 , ou seja, temos f 1 :

  f 1 = 0,2

Beleza, agora vamos montar a nossa equação:

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

y = 0,2 - 1 2 ( x - 1 )

y = - x 2 + 0,7

Passo 6

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7