Teorema Fundamental do Cálculo

Teoria Completa

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = ∫ a x f ( t ) d t                 a ≤ x ≤ b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = ∫ 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = ∫ 1 sen ⁡ x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen ⁡ x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen ⁡ x

h   x = ∫ 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = ∫ 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

⇒ g ' u x = e sen 2 ⁡ x

E

u ' x = cos ⁡ x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = ∫ a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t = ∫ e x C ln ⁡ t 2 d t + ∫ C 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

∫ e x C ln ⁡ t 2 d t = - ∫ C e x ln ⁡ t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = ∫ e x 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t = - ∫ C e x ln ⁡ t 2 d t +   ∫ C 2 x ( ln ⁡ t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x → 0 ⁡ 1 x ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

∫ a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t x = lim x → 0 ⁡ ∫ 0 sen ⁡ x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x → 0 ⁡ e sen ⁡ x 2 cos ⁡ x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 1

Calcular a derivada:

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

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Passo 1

O que esse exercício está pedindo? Observa que ele está me pedindo uma derivada em relação a x , pois eu tenho d f x d x .

Só que quem é o f ( x ) ?

f x =   ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t

No fundo, o que ele quer é f ' x .

E aí? Não tá com cara de que teremos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1? Viu como às vezes reescrever o problema já facilita?

Passo 2

Agora que já sabemos o que o problema está querendo, identificamos que o limite superior da integral é a função u x = x 3 .

Portanto, para achar a derivada f ' ( x ) , teremos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável t por x 3 . Depois, multiplicamos pela derivada de x 3 .

f ' x = t 2 + 1 3   .   ( x 3 ) '

f ' x = x 6 + 1 3   .   3 x 2

É isso.

Resposta

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x = x 6 + 1 3 3 x 2

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 - 1

Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .
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Passo 1

a )

Queremos achar a derivada de uma função em x e essa função é definida como uma integral e a expressão dentro da integral tem como variável t . Sinto cheiro de Teorema Fundamental do Cálculo. Melhor ainda: o que está no limite da integral é x simplesmente e não uma função de x , o que vai nos poupar a fadiga de usar a regra da cadeia (todos comemoram \o/).

Maaas... observe que caímos naquele caso em que o x está no limite inferior e a constante no limite superior. Eles fazem isso achando que você vai ficar sem saber o que fazer. Mas, como você é esperto(a), já tá sabendo que nesse caso é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites.

Passo 2

Utilizando a propriedade:

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Passo 3

O que ele pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + 1 4 = - 1 2

Passo 4

b )

Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. A equação de uma reta é dada por y = a x + b , sendo a   o coeficiente angular da reta e b o coeficiente Linear da reta.

Como queremos a reta tangente à função f x   em x = 1 , o coeficiente angular da reta tangente será dado pela derivada da função em x = 1 , ou seja, f ' ( 1 ) . Já calculamos f ' ( 1 ) no item a ) .

Logo:

a = f ' 1 =   - 1 2

Ok. Já temos o coeficiente angular, mas não linear. E agora? Para definir uma reta, precisamos de dois pontos, certo?

Perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 . Isso significa que esse é o valor de f ( x ) no ponto x = 1 , ou seja, temos f 1 .

Então, para descobrirmos o valor do coeficiente linear da reta tangente, basta substituirmos x = 1 e o valor correspondente f ( 1 ) .

y = a   x + b

a = - 1 2

Para x = 1 :

f 1 =   - 1 2   1 + b

Da expressão dada no enunciado:

f 1 = ∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Substituindo:

0,2 =   - 0,5 + b

b = 0,7

Portanto, a equação da reta tangente a f x em x = 1 é:

y =   - 1 2 x + 0,7

Passo 5

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7

Fazendo y = 0 :

0 =   - 1 2 x + 0,7 → x = 1,4

Já a altura será 0,7 , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo y . Portanto, a área pedida será:

A = 1,4 .   0,7 2

A = 0,49 u . a .

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49 u . a .

Exercício Resolvido #3

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 3 II

Seja

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

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Passo 1

Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em x em que aparece uma integral em t . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um x dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o x   também é um limite de integração.

Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é t e não x ? Então o x funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão e 2 x + t 2 em uma expressão que dependa apenas de x , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de t não podem ser tiradas da integral, pois t é a variável da integral!

Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de x tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?

Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante C qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que C não seja função de x !) e a segunda vai de C até o limite superior que temos agora.

Mãos-à-obra?

Passo 2

Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o x da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?

Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

e a + b = e a . e b

Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:

e 2 x + t 2 = e 2 x . e t 2

Olha só como fica a integral:

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x   e t 2 d t

Lembra que eu falei que uma expressão em x é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é t e não x ? Então podemos tirar aquele e 2 x da integral, certo?

F x = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x   e t 2 d t

Passo 3

Beleza. Agora que já nos livramos daquele x   dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de x . Também já sabemos como resolver isso, certo?

Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x

Lembrando que C é apenas uma constante qualquer independente de x , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.

F x = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t = e 2 x ∫ sen ⁡ x C e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Agora vemos que na primeira integral a função de x está no limite inferior enquanto a constante C está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!

F x = e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Passo 4

Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função F ( x ) . A variável da função F ( x ) é x . Aquele e 2 x saiu da integral mas continua ali dentro de F ( x ) , concorda?

Para F ( x ) , esse e 2 x não é uma constante, porque ele tem a variável x ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de x . Isso porque substituiremos a variável t pelas funções de x que estão no limite de integração.

Então, no fundo, no fundo, é como se a função F ( x ) estivesse definida como o produto de duas funções de x .

É como se tivéssemos isso aqui, ó:

u x = e 2 x

v x =   - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!

F ' x = u ' x .   v x + v ' x . u ( x )

Que equivale a:

F ' x = e 2 x ' - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t '

Lembrando que para derivar - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x sen ⁡ x ' + e cos 2 ⁡ x cos ⁡ x '

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + e cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

Passo 5

Agora, além de F ' ( x ) , ele pede F ' ( π 4 ) .

F ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = π 4 :

F ' π 4 = e 2 π 4 2 ∫ sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 e t 2 d t - e sen 2 ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 - e cos 2 ⁡ π 4 sen ⁡ π 4

= e π 2 2 ∫ 2 2 2 2 e t 2 d t - e 2 2 2 2 2 - e 2 2 2 2 2

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

∫ a a f x d x = 0

= e π 2 2 0 - e 1 2 2 2 - e 1 2 2 2

= e π 2 - e 1 2 2

= - e π + 1 2 2

Resposta

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

F ' π 4 = - e π + 1 2 2

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 1 - P3 2010 – 3b

Considere a função

g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = ∫ 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

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Passo 1

Bom, ele quer a derivada de f ( x ) , sendo que f x está definida como uma integral em t . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de x , que ele chamou de g ( x ) . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.

Só que se você olhar para a g ( x ) que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a g ( x ) , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de f ( x ) nesses casos é substituir a variável t pela função de x no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.

Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu g ( x ) e escrever g ( x ) no lugar de t :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . g x '

A princípio, não sabemos quem é g ( x ) , então simplesmente indicamos a sua derivada como g ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   .   g ' x

Passo 3

Agora podemos nos preocupar com g ( x ) . Observe que g ( x ) também é definida como uma integral que tem variável t . A princípio, precisaríamos calcular o valor de g x para substituir na expressão de f ' ( x ) . Mas como ele pede f ' π 2 , veremos que isso não será necessário.

Para achar g ' ( x ) basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t

g ' x = 3 + s e n 2 cos ⁡ x 2 2 cos ⁡ x '

g ' x = 3 + sen ⁡ 4 cos 2 ⁡ x . - 2   sen ⁡ x

Vamos substituir g ' ( x ) na expressão que encontramos para f ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . 3 + sen ⁡ 4 cos 2 ⁡ x . - 2   sen ⁡ x

Passo 4

Bom, ele quer o valor de f ' π 2 . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular g ( x ) . Apenas entender que, como ele quer f ' ( x ) especificamente no ponto x = π 2 só precisávamos do valor de g x também em x = π 2 .

Ok, mas eu ainda preciso do valor de g π 2 . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar g π 2 basta substituir o x no limite de integração por π 2