Teorema Fundamental do Cálculo

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Teoria

Fala aí, nós somos o Responde Aí, e estamos aqui hoje para te ajudar a entender o Teorema Fundamental do Cálculo.

O Teorema Fundamental do Cálculo é hiper-mega-power importante, afinal ele é o teorema "fundamental" de TODO o cálculo. Então fica ligado em tudo que vai aprender aqui hoje, combinado?

Eu vou começar te dizendo logo o que esse teorema diz, vou colocar até como um quadrinho pra você saber que é bem importante.

Parece meio confuso, não é? Mas vou traduzir essa língua estranha pra você hahaha. O que o teorema está dizendo é que se a função $g(x)$ é definida como a integral da função $f(x)$, que é uma função contínua, então a derivada de $g(x)$ será a função $f(x)$.

Ainda parece grego? Calma, olha essa função aqui:

$$g(x)=\int ^{1}_{x} e^{t^2}dt$$

Se quisermos calcular a derivada de $g(x)$ podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo, porque $g(x)$ está escrita como a integral de uma função exponencial e a função exponencial é contínua, ou seja, temos todas as características que aparecem no teorema, por isso podemos usá-lo.

Vamos primeiro organizar as funções:

$$g(x)=\int ^{x}_{1} e^{t^2}dt~~~~e~~~~f(t)=e^{t^2}$$

Se aplicarmos o teorema teremos que:

$$g^{'}(x)=f(x)$$

Basta pegarmos a função $f(t)$ e onde tiver $t$ trocamos por $x$, assim:

$$g^{'}(x)=f(x)=e^{x^2}$$

Se liga que não é importante o limite inferior da integral, pode ser qualquer constante, e o limite superior deve ser o $x$.

Mas e se o limite inferior for uma constante, mas o limite superior for uma função e não só uma variável $x$? O que fazer? Entrar em desespero? CLARO QUE NÃO, com o Responde Aí você só arrasa na prova!!

Vamos ver o que fazer nesses casos. Considere essa função aqui:

$$h(x)=\int ^{sen x}_{1} e^{t^2}dt$$

Nesse caso nós teremos que definir duas novas funções:

$$u(x)=sen~x$$
$$p(x)=\int ^{x}_{1} e^{t^2}dt$$

Note que se eu faço $p(u(x))$, ou seja, pego a função $p$ e no lugar de $x$ eu coloco $u(x)$ eu obtenho exatamente a função $h$, então:

$$h(x)=p(u(x))$$

Para encontrarmos a derivada de $h$, podemos aplicar a regra da cadeia nessa última expressão:

$$h^{'}(x)=p^{'}(u(x))~.~u^{'}(x)$$

A derivada de $p$ encontramos pelo teorema fundamental do cálculo:

$$Como~~p(x)=\int ^{x}_{1} e^{t^2}dt~~,~~~~Então:~~~p^{'}(x)=e^{x^2}$$

Mas como queremos $p^{'}(u(x))$ vamos substituir $x$ por $u(x)=sen~x$:

$$p^{'}(u(x))=e^{(u(x))^2}=e^{sen^2~x}$$

Agora, calculamos a derivada de $u(x)$

$$Como~~u(x)=sen~x~~,~~ Então:~~u^{'}(x)=cos~x$$

Agora, temos que substituir na expressão que achamos para $h^{'}(x)$:

$$h^{'}(x)=p^{'}(u(x))~.~u^{'}(x)=e^{sen^2~x}cos~x$$

Parece meio confuso?

De forma geral, é só seguir esse quadrinho aqui:

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É isso mesmo, nós temos vídeo desse conteúdo também 🎉. É só conferir 👇🏾

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Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcular a derivada:

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

Passo 1

O que esse exercício está pedindo? Observa que ele está me pedindo uma derivada em relação a x , pois eu tenho d f x d x .

Só que quem é o f ( x ) ?

f x =   ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t

No fundo, o que ele quer é f ' x .

E aí? Não tá com cara de que teremos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1? Viu como às vezes reescrever o problema já facilita?

Passo 2

Agora que já sabemos o que o problema está querendo, identificamos que o limite superior da integral é a função u x = x 3 .

Portanto, para achar a derivada f ' ( x ) , teremos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável t por x 3 . Depois, multiplicamos pela derivada de x 3 .

f ' x = t 2 + 1 3   .   ( x 3 ) '

f ' x = x 6 + 1 3   .   3 x 2

É isso.

Resposta

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x = x 6 + 1 3 3 x 2

Exercício Resolvido #2

Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Passo 1

  1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós temos que se uma função continua f x é dada por

f x = ∫ 1 x g t   d t

Então,

f ' x = g ( x )

Ok, mas como eu aplico isso para resolver a letra a?

Repara que aqui queremos achar a derivada de uma função em x , que é a f ' x .

E a f ( x ) é definida como uma integral, que tem como variável t . Ou seja, podemos dizer que

g t = 1 1 + t 4

Opa, isso é um indicativo que podemos resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então vamos aplica-lo para achar f ' x .

Passo 2

Antes de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, repara em uma coisinha:

No problema o x está no limite inferior e a constante no limite superior. E o para resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como no exemplo do Passo 1, teria que ser o contrario.

Mas fica tranquilo, que é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites, lembra?

A gente simplesmente inverte os limites da integração e coloca um sinal de menos na frente da integral. Então utilizando a propriedade fica assim:

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

Passo 3

Agora sim nós podemos aplicar nosso maravilhoso Teorema Fundamental do Cálculo. Bom, já que temos agora que:

f x = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

E dado que a função 1 1 + t 4 é contínua no intervalo 2 , + ∞ .

Então podemos aplicar o teorema nesse caso, chegando nisso aqui:

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Passo 4

O que a questão pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + ( 1 ) 4 = - 1 2

Passo 5

b) Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. E como que achamos a reta tangente? Vamos fazer igual quando fazíamos lá em derivadas:

y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como ele pede para o ponto   1 , f 1 :

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

Para a nossa alegria, já temos o valor de f ' ( 1 ) que calculamos no passo anterior, que é igual a - 1 2 .

Agora vamos encontrar f ( 1 )

Passo 6

Antes disso, vamos chamar a primitiva da integral de P ( t ) .

Ok, perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Se a gente tivesse que calcular isso passo-a-passo, primeiro a gente encontraria a primitiva para depois substituir os limites de integração, assim:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = P 2 - P 1 = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = P 2 - P ( x )

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? Então a primitiva, P ( t ) , é a mesma.

A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 .

Então quando a gente substituir 1 na expressão, teremos,

f x = P 2 - P ( x )

f 1 = P 2 - P 1 = 0,2

Beleza, agora vamos montar a nossa equação:

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

y = 0,2 - 1 2 ( x - 1 )

y = - x 2 + 0,7

Passo 7

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7 . Fazendo y = 0 :

0 =   - 1 2 x + 0,7 → x = 1,4

Já a altura será 0,7 , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo y . Portanto, a área pedida será:

A = 1,4 .   0,7 2

A = 0,49 u . a .

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49 u . a .

Exercício Resolvido #3

Seja

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Passo 1

Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em x em que aparece uma integral em t . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um x dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o x   também é um limite de integração.

Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é t e não x ? Então o x funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão e 2 x + t 2 em uma expressão que dependa apenas de x , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de t não podem ser tiradas da integral, pois t é a variável da integral!

Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de x tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?

Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante C qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que C não seja função de x !) e a segunda vai de C até o limite superior que temos agora.

Mãos-à-obra?

Passo 2

Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o x da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?

Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

e a + b = e a . e b

Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:

e 2 x + t 2 = e 2 x . e t 2

Olha só como fica a integral:

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x   e t 2 d t

Lembra que eu falei que uma expressão em x é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é t e não x ? Então podemos tirar aquele e 2 x da integral, certo?

F x = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x   e t 2 d t

Passo 3

Beleza. Agora que já nos livramos daquele x   dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de x . Também já sabemos como resolver isso, certo?

Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x

Lembrando que C é apenas uma constante qualquer independente de x , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.

F x = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t = e 2 x ∫ sen ⁡ x C e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Agora vemos que na primeira integral a função de x está no limite inferior enquanto a constante C está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!

F x = e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Passo 4

Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função F ( x ) . A variável da função F ( x ) é x . Aquele e 2 x saiu da integral mas continua ali dentro de F ( x ) , concorda?

Para F ( x ) , esse e 2 x não é uma constante, porque ele tem a variável x ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de x . Isso porque substituiremos a variável t pelas funções de x que estão no limite de integração.

Então, no fundo, no fundo, é como se a função F ( x ) estivesse definida como o produto de duas funções de x .

É como se tivéssemos isso aqui, ó:

u x = e 2 x

v x =   - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!

F ' x = u ' x .   v x + v ' x . u ( x )

Que equivale a:

F ' x = e 2 x ' - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t '

Lembrando que para derivar - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x sen ⁡ x ' + e cos 2 ⁡ x cos ⁡ x '

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + e cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

Passo 5

Agora, além de F ' ( x ) , ele pede F ' ( π 4 ) .

F ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = π 4 :

F ' π 4 = e 2 π 4 2 ∫ sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 e t 2 d t - e sen 2 ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 - e cos 2 ⁡ π 4 sen ⁡ π 4

= e π 2 2 ∫ 2 2 2 2 e t 2 d t - e 2 2 2 2 2 - e 2 2 2 2 2

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

∫ a a f x d x = 0

= e π 2 2 0 - e 1 2 2 2 - e 1 2 2 2

= e π 2 - e 1 2 2

= - e π + 1 2 2

Resposta

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

F ' π 4 = - e π + 1 2 2

Exercício Resolvido #4

Considere a função

g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = ∫ 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

Passo 1

Bom, ele quer a derivada de f ( x ) , sendo que f x está definida como uma integral em t . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de x , que ele chamou de g ( x ) . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.

Só que se você olhar para a g ( x ) que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a g ( x ) , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de f ( x ) nesses casos é substituir a variável t pela função de x no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.

Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu g ( x ) e escrever g ( x ) no lugar de t :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . g x '

A princípio, não sabemos quem é g ( x ) , então simplesmente indicamos a sua derivada como g ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   .   g ' x

Passo 3

Agora podemos nos preocupar com g ( x ) . Observe que g ( x ) também é definida como uma integral que tem variável t . A princípio, precisaríamos calcular o valor de g x para substituir na expressão de f ' ( x ) . Mas como ele pede f ' π 2 , veremos que isso não será necessário.

Para achar g ' ( x ) basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t

g ' x = 3 + s e n 2 cos ⁡ x 2 2 cos ⁡ x '

g ' x = 3 + sen ⁡ 4 cos 2 ⁡ x . - 2   sen ⁡ x

Vamos substituir g ' ( x ) na expressão que encontramos para f ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . 3 + sen ⁡ 4 cos 2 ⁡ x . - 2   sen ⁡ x

Passo 4

Bom, ele quer o valor de f ' π 2 . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular g ( x ) . Apenas entender que, como ele quer f ' ( x ) especificamente no ponto x = π 2 só precisávamos do valor de g x também em x = π 2 .

Ok, mas eu ainda preciso do valor de g π 2 . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar g π 2 basta substituir o x no limite de integração por π 2 :

g π 2 = ∫ 0 2 cos ⁡ π 2 3 + sen ⁡ t 2 d t = ∫ 0 2 0 3 + sen ⁡ t 2 d t

g π 2 = ∫ 0 0 3 + sen ⁡ t 2 d t = 0

Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar 0 . Com isso, podemos substituir g π 2 por 0 na expressão e, finalmente, calcular f ' π 2 .

f ' π 2 = g π 2 2 4 + g π 2 4 - 2 sen ⁡ π 2 3 + sen ⁡ 4 cos 2 ⁡ π 2

= 0 2 4 + 0 4 - 2 ( 1 ) 3 + sen ⁡ 0 = 0 2 - 2 3 = 0

Confessa aí: maneirinha essa questão, hein?

Resposta

f ' π 2 = 0

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