Teorema Fundamental do Cálculo

Resumo Completo

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = a x f ( t ) d t                 a x b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = 1 sen x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen x

h   x = 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

g ' u x = e sen 2 x

E

u ' x = cos x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 x cos x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = e x C ln t 2 d t + C 2 x ( ln t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

e x C ln t 2 d t = - C e x ln t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = - C e x ln t 2 d t +   C 2 x ( ln t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x 0 1 x 0 sen x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x 0 0 sen x e t 2   d t x = lim x 0 0 sen x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x 0 e sen x 2 cos x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 1

Calcular a derivada:

d 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que esse exercício está pedindo? Observa que ele está me pedindo uma derivada em relação a x , pois eu tenho d f x d x .

Só que quem é o f ( x ) ?

f x =   1 x 3 t 2 + 1 3 d t

No fundo, o que ele quer é f ' x .

E aí? Não tá com cara de que teremos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1? Viu como às vezes reescrever o problema já facilita?

Passo 2

Agora que já sabemos o que o problema está querendo, identificamos que o limite superior da integral é a função u x = x 3 .

Portanto, para achar a derivada f ' ( x ) , teremos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável t por x 3 . Depois, multiplicamos pela derivada de x 3 .

f ' x = t 2 + 1 3   .   ( x 3 ) '

f ' x = x 6 + 1 3   .   3 x 2

É isso.

Resposta

d 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x = x 6 + 1 3 3 x 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 - 1

Seja

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a )

Queremos achar a derivada de uma função em x e essa função é definida como uma integral e a expressão dentro da integral tem como variável t . Sinto cheiro de Teorema Fundamental do Cálculo. Melhor ainda: o que está no limite da integral é x simplesmente e não uma função de x , o que vai nos poupar a fadiga de usar a regra da cadeia (todos comemoram \o/).

Maaas... observe que caímos naquele caso em que o x está no limite inferior e a constante no limite superior. Eles fazem isso achando que você vai ficar sem saber o que fazer. Mas, como você é esperto(a), já tá sabendo que nesse caso é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites.

Passo 2

Utilizando a propriedade:

f x = x 2 1 1 + t 4 d t = - 2 x 1 1 + t 4 d t

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Passo 3

O que ele pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + 1 4 = - 1 2

Passo 4

b )

Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. A equação de uma reta é dada por y = a x + b , sendo a   o coeficiente angular da reta e b o coeficiente Linear da reta.

Como queremos a reta tangente à função f x   em x = 1 , o coeficiente angular da reta tangente será dado pela derivada da função em x = 1 , ou seja, f ' ( 1 ) . Já calculamos f ' ( 1 ) no item a ) .

Logo:

a = f ' 1 =   - 1 2

Ok. Já temos o coeficiente angular, mas não linear. E agora? Para definir uma reta, precisamos de dois pontos, certo?

Perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 . Isso significa que esse é o valor de f ( x ) no ponto x = 1 , ou seja, temos f 1 .

Então, para descobrirmos o valor do coeficiente linear da reta tangente, basta substituirmos x = 1 e o valor correspondente f ( 1 ) .

y = a   x + b

a = - 1 2

Para x = 1 :

f 1 =   - 1 2   1 + b

Da expressão dada no enunciado:

f 1 = 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Substituindo:

0,2 =   - 0,5 + b

b = 0,7

Portanto, a equação da reta tangente a f x em x = 1 é:

y =   - 1 2 x + 0,7

Passo 5

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7

Fazendo y = 0 :

0 =   - 1 2 x + 0,7 x = 1,4

Já a altura será 0,7 , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo y . Portanto, a área pedida será:

A = 1,4 .   0,7 2

A = 0,49 u . a .

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49 u . a .

Exercício Resolvido #3

Enunciado

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 3 II

Seja

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em x em que aparece uma integral em t . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um x dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o x   também é um limite de integração.

Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é t e não x ? Então o x funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão e 2 x + t 2 em uma expressão que dependa apenas de x , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de t não podem ser tiradas da integral, pois t é a variável da integral!

Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de x tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?

Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante C qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que C não seja função de x !) e a segunda vai de C até o limite superior que temos agora.

Mãos-à-obra?

Passo 2

Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o x da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?

Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

e a + b = e a . e b

Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:

e 2 x + t 2 = e 2 x . e t 2

Olha só como fica a integral:

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t = sen x cos x e 2 x   e t 2 d t

Lembra que eu falei que uma expressão em x é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é t e não x ? Então podemos tirar aquele e 2 x da integral, certo?

F x = ( e 2 x ) sen x cos x   e t 2 d t

Passo 3

Beleza. Agora que já nos livramos daquele x   dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de x . Também já sabemos como resolver isso, certo?

Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Lembrando que C é apenas uma constante qualquer independente de x , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.

F x = e 2 x sen x cos x e t 2 d t = e 2 x sen x C e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Agora vemos que na primeira integral a função de x está no limite inferior enquanto a constante C está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!

F x = e 2 x - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Passo 4

Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função F ( x ) . A variável da função F ( x ) é x . Aquele e 2 x saiu da integral mas continua ali dentro de F ( x ) , concorda?

Para F ( x ) , esse e 2 x não é uma constante, porque ele tem a variável x ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de x . Isso porque substituiremos a variável t pelas funções de x que estão no limite de integração.

Então, no fundo, no fundo, é como se a função F ( x ) estivesse definida como o produto de duas funções de x .

É como se tivéssemos isso aqui, ó:

u x = e 2 x

v x =   - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!

F ' x = u ' x .   v x + v ' x . u ( x )

Que equivale a:

F ' x = e 2 x ' - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t + e 2 x - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t '

Lembrando que para derivar - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2

F ' x = 2 e 2 x sen x cos x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 x sen x ' + e cos 2 x cos x '

F ' x = 2 e 2 x sen x cos x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 x cos x + e cos 2 x - sen x

F ' x = e 2 x 2 sen x cos x e t 2 d t - e sen 2 x cos x - e cos 2 x sen x

Passo 5

Agora, além de F ' ( x ) , ele pede F ' ( π 4 ) .

F ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = π 4 :

F ' π 4 = e 2 π 4 2 sen π 4 cos π 4 e t 2 d t - e sen 2 π 4 cos π 4 - e cos 2 π 4 sen π 4

= e π 2 2 2 2 2 2 e t 2 d t - e 2 2 2 2 2 - e 2 2 2 2 2

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

= e π 2 2 0 - e 1 2 2 2 - e 1 2 2 2

= e π 2 - e 1 2 2

= - e π + 1 2 2

Resposta

F ' x = e 2 x 2 sen x cos x e t 2 d t - e sen 2 x cos x - e cos 2 x sen x

F ' π 4 = - e π + 1 2 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

USP - Cálculo 1 - P3 2010 – 3b

Considere a função

g x = 0 2 cos x 3 + sen t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, ele quer a derivada de f ( x ) , sendo que f x está definida como uma integral em t . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de x , que ele chamou de g ( x ) . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.

Só que se você olhar para a g ( x ) que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a g ( x ) , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de f ( x ) nesses casos é substituir a variável t pela função de x no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.

Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu g ( x ) e escrever g ( x ) no lugar de t :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . g x '

A princípio, não sabemos quem é g ( x ) , então simplesmente indicamos a sua derivada como g ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   .   g ' x

Passo 3

Agora podemos nos preocupar com g ( x ) . Observe que g ( x ) também é definida como uma integral que tem variável t . A princípio, precisaríamos calcular o valor de g x para substituir na expressão de f ' ( x ) . Mas como ele pede f ' π 2 , veremos que isso não será necessário.

Para achar g ' ( x ) basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = 0 2 cos x 3 + sen t 2 d t

g ' x = 3 + s e n 2 cos x 2 2 cos x '

g ' x = 3 + sen 4 cos 2 x . - 2   sen x

Vamos substituir g ' ( x ) na expressão que encontramos para f ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . 3 + sen 4 cos 2 x . - 2   sen x

Passo 4

Bom, ele quer o valor de f ' π 2 . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular g ( x ) . Apenas entender que, como ele quer f ' ( x ) especificamente no ponto x = π 2 só precisávamos do valor de g x também em x = π 2 .

Ok, mas eu ainda preciso do valor de g π 2 . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar g π 2 basta substituir o x no limite de integração por π 2 :

g π 2 = 0 2 cos π 2 3 + sen t 2 d t = 0 2 0 3 + sen t 2 d t

= 0 0 3 + sen t 2 d t

Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar 0 . Com isso, podemos substituir o resto da expressão e, finalmente, calcular f ' π 2 .

f ' π 2 = g π 2 2 4 + g π 2 4 - 2 sen π 2 3 + sen 4 cos 2 π 2

= 0 2 4 + 0 4 - 2 ( 1 ) 3 + sen 0 = 0 2 - 2 3 = 0

Confessa aí: maneirinha essa questão, hein?

Resposta

f ' π 2 = 0

Exercício Resolvido #5

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2008.2 -

Calcule o limite:

lim x 0 0 x cos t 2008 d t x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, temos limite misturado com integral de uma função da forma:

a x f ( t ) d t

Fica esperto que isso tem muita cara de que quando você substituir o limite, vai cair em uma indeterminação. Aí vai ter que aplicar L’Hospital e usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 para calcular a derivada dessa função que está no numerador. Quer apostar?

Passo 2

Vamos analisar o limite quando x 0 :

lim x 0 0 x cos t 2008 d t x = 0 0 cos t d t 0

Como

a a f x d x = 0

Então,

0 0 cos t d t 0 = 0 0

Eu ouvi indeterminação 0 0 ?! Eu ouvi L’Hôspital?!

lim x 0 0 x cos t 2008 d t ' x '

Passo 3

Pronto! Para o numerador, usaremos a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

0 x cos t 2008 d t ' = cos x 2008  

Passo 4

O limite pode ser reescrito assim:

lim x 0 cos x 2008     1 = l i m x 0 cos x 2008

Agora é só substituir:

l i m x 0 cos x 2008 = cos 0 2008 = 1

Resposta

lim x 0 0 x cos t 2008 d t x = 1

Exercício Resolvido #6

Enunciado

USP - Cálculo 1 - P3 2009 -

Calcule o seguinte limite:

lim x 0 0 x 3 e t 3 d t 0 x 2 e 2 t 2 d t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Não vou nem falar que isso aí tem aquela cara típica de problema que mistura Teorema Fundamental do Cálculo com limite para você não dizer que sou uma pessoa repetitiva.

Passo 2

Como sempre, temos que começar o limite substituindo o valor do x :

lim x 0 0 x 3 e t 3 d t 0 x 2 e 2 t 2 d t = 0 0 e t 3 d t 0 0 e 2 t 2 d t

= 0 0

Indeterminação de quociente, como dá para ver. O jeito mais prático de resolver é, como sempre, usar a Regra de L’Hospital, que consiste em derivar os termos de cima e de embaixo.

O detalhe é que temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo tanto em cima quanto embaixo, já que tanto o numerador quanto o numerador têm integrais.

Passo 3

lim x 0 0 x 3 e t 3 d t 0 x 2 e 2 t 2 d t L ' H lim x 0 [ 0 x 3 e t 3 d t ] ' [ 0 x 2 e 2 t 2 d t ] '

Em ambos os casos, o limite superior é uma função de x , então teremos que usar a regra da cadeia:

= lim x 0 e x 3 3 [ x 3 ] ' e 2 x 2 2   [ x 2 ] '

= lim x 0 e x 9 3 x 2 e 2 x 4 2 x

= lim x 0 e x 9 e 2 x 4 3 x 2

Pronto! Agora é só substituir e ser feliz!

= e 0 e 0 3 0 2

= 1 0

= 0

Resposta

lim x 0 0 x 3 e t 3 d t 0 x 2 e 2 t 2 d t = 0

Exercício Resolvido #7

Enunciado

USP - Cálculo 1 - PREC 2015 - 1 b

Calcule o seguinte limite:

lim x 0 0 sen x 3 x e t 2 d t cos x 1 e t 2 d t

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

De novo temos uma questão em que ele pede para calcular o limite e no numerador e no denominador aparecem integrais. Então, mais uma vez, pequeno gafanhoto, acredito que você pode prever que você vai substituir o limite, cair numa indeterminação, aplicar L’Hospital e ter que usar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver!

Gente, esse pessoal de Cálculo I não tem criatividade, não?

Passo 2

Vamos substituir o valor do limite que aparece aí:

lim x 0 0 sen x 3 x e t 2 d t cos x 1 e t 2 d t = 0 sen 0 3 0 e t 2 d t cos 0 1 e t 2 d t

= 0 0 3 0 e t 2 d t 1 1 e t 2 d t = 0 0

Isso significa que podemos usar nosso queridíssimo L’Hospital! Agora, para isso a gente tem que derivar usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Vamos começar derivando a função do numerador.

Opa! Parece que quem fez o enunciado colocou uma pimentinha para dar uma variada ali. Observa que no numerador desse quociente tem um termo dentro da integral que é função de x . Como a integral é em t podemos usar aquele macete de encarar esse 3 x é como se fosse uma constante e tirá-lo da integral:

0 sen x 3 x e t 2 d t = 3 x 0 sen x e t 2 d t

Beleza. Aí você lembra que para derivar isso aí, temos que usar a regra do produto, né??

Só para ficar mais fácil se visualizar:

u x = 3 x

v x =   0 sen x e t 2 d t

A derivada será dada por:

u ' x .   v x + v ' x . u ( x )

Que equivale a:

= 3 x ' 0 sen x e t 2 d t + 3 x 0 sen x e t 2 d t '

= 3 0 sen x e t 2 d t + 3 x e sen 2 x sen x '

3 0 sen x e t 2 d t + 3 x e sen 2 x cos x

Passo 4

Agora vamos derivar a função do denominador

Observa que primeiro vamos ter que inverter os limites te integração para poder aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

cos x 1 e t 2 d t =   - 1 cos x e t 2 d t

- 1 cos x e t 2 d t ' = - e cos 2 x cos x '  

=   - e cos 2 x - sen x

=   e cos 2 x sen x

Passo 5

Por L’Hospital, o limite pode ser reescrito como:

= lim x 0 3 0 sen x e t 2 d t + 3 x e sen 2 x cos x e  cos 2 x   sen x

Agora podemos tentar substituir o limite:

3 0 sen 0 e t 2 d t + 0 e sen 2 0 cos 0 e cos 2 0 sen 0

= 0 + 0 0 = 0 0

Continuamos com indeterminação!

Passo 6

Como resolver essa indeterminação? Aplicando L’Hospital de novo:

lim x 0 3 0 sen x e t 2 d t + 3 x e sen 2 x cos x e cos 2 x sen x L ' H  

L ' H   lim x 0 3 0 sen x e t 2 d t ' + 3 x ' e sen 2 x cos x + 3 x e sen 2 x cos x ' e cos 2 x ' sen x + e cos 2 x sen x '

É, digamos que não vai dar uma expressão muito bonita:

= lim x 0 3 e sen 2 x sen x ' + 3 e sen 2 x cos x + 3 x e sen 2 x 2 sen x sen x ' cos x + e sen 2 x cos x '   e cos 2 x 2 cos x cos x ' sen x + e cos 2 x sen x '

= lim x 0 3 e sen 2 x cos x + 3 e sen 2 x cos x + 3 x e sen 2 x 2 sen x cos x cos x + e sen 2 x - sen x   e cos 2 x 2 cos x - sen x sen x + e cos 2 x cos x

Eu sei, tá um monstro enorme. Agora, se substituirmos tudo que tem x ou sen x vai para 0 , assim como o que é cos x vai para 1 e olha como vai ficar:

3 e 0 1 + 3 e 0 1 + 0 e 0 0 1 1 + e 0 0   e 1 2 0 0 + e 1 1

= 3 + 3   e = 6 e

= 6 e

Resposta

lim x 0 0 sen x 3 x e t 2 d t cos x 1 e t 2 d t = 6 e

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas