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d) ∫ x + 3 x - 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos dividir nossa integral em duas pra ficar mais fácil!

I = ∫ x + 3 x - 2 d x = ∫ x   d x + ∫ 3 x - 2   d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c     quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I 1 = ∫ x   d x = x 2 2 + c 1

I 2 = ∫ 3 x - 2 d x

Para resolver a segunda, podemos fazer a seguinte substituição:

u = x - 2

Derivando,

d u = d x

Logo,

I 2 = ∫ 3 x - 2 d x = ∫ 3 u d u = 3 ⋅ ∫ d u u = 3 ⋅ l n ⁡ | u |   +   c 2

Passo 3

Voltando para variável x :

I 2 = 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c 2

Agora é só juntar as duas integrais!

I = I 1 + I 2 = x 2 2 + c 1 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c 2  

Além disso, podemos juntar as duas constantes!

I = x 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c

Resposta

x 2 2 + 3 ⋅ ln ⁡ x - 2 + c

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