Enunciado

Se F x , y = sen ⁡ y i + ( 1 + x cos ⁡ y ) j , use um gráfico para conjecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.

Passo 1

Colocando a função vetorial no gráfico, temos algo do tipo

Pelo gráfico parece que a função é conservativa.

Passo 2

Para provar que a função F é conservativa, temos que provar que existe uma função f onde

F = ∇ f

Sabendo que f é continua em todo o R 2 que é uma região simplesmente conexa, pela igualdade

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Onde F = P i + Q j , pelo teorema 6, podemos provar que F é conservativa.

Derivando P em relação a y , onde P = sen ⁡ y

∂ P ∂ y = cos ⁡ y

E Q em relação a x , onde Q = 1 + x cos ⁡ y

∂ Q ∂ x = cos ⁡ y

Como ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x , temos que F é conservativo.

Resposta

Conservativo.

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Seja r → = xi → + yj → +zk → e r = | r | . Verifique as identidades: ∇ r = r → / r ∇ × r → = 0 ∇ 1 r = - r → / r 3 ∇ ln ⁡ r = r → / r 2
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão
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Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão