Enunciado

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

13. g s ,   t = s t ,   2 ,   4 ,   v = 2 i - j

Passo 1

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f . u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ g = ∂ g ∂ s i + ∂ g ∂ t j

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

∇ g = t i + s 2 t j

∇ g 2 ,   4 = 2 i + 1 2 j

Descobrindo u :

u = v v = 2 i - j 2 2 + ( - 1 ) ² = 1 5 ( 2 i - j )

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u g 2 ,   4 = ∇ g 2 ,   4 . u

D u g 2 ,   4 = 2 i + 1 2 . 1 5 2 i - j = 1 5 4 - 1 2

∴ D u g 2 ,   4 = 7 2 5

Resposta

D u g 2 ,   4 = 7 2 5

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