Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(j = 1)^(oo) (- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5)

Passo 1

Para checarmos a convergência desta série, vamos usar o teste das séries alternadas. Para isto, precisamos checar os dois seguintes pontos:

b_j + 1 <= b_j , p a r a t o d o n

underset(j -> oo)(lim) b_j = 0

Vamos começar checando o primeiro ponto. Para isto, vamos checar se a função f (j) = (sqrt(j))/(j + 5) é uma função decrescente para qualquer valor de j >= 1 . Portanto,

f^' (j) = ((j + 5)/(2 sqrt(j)) - sqrt(j))/((j + 5)^2) = (- j + 5)/(2 sqrt(j) (j + 5)^2)

Como f^' (j) < 0 se j > 5 , então, a função é decrescente a partir de j = 5 . Apesar dos pontos j = 1,2 , 3,4 e 5 não satisfizerem o teste da série alternada, podemos excluí-los da nossa análise, pois o que importa é o comportamento da função à medida em que j cresce!

Vamos agora checar o limite da função. Logo,

underset(j -> oo)(lim) (sqrt(j))/(j + 5) = (oo)/(oo)

Aplicando a Regra de L`Hopital, temos:

underset(j -> oo)(lim) ((1)/(2 sqrt(j)))/(1) = underset(j -> oo)(lim) (1)/(2 sqrt(j)) = 0

Portanto, o teste das séries alternadas é satisfeito e a nossa série é convergente!

Resposta

A série é convergente.

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