Enunciado

1.Encontrar, se existirem, os pontos de máximos e de mínimos globais das funções:

b) z = x 2 + y 2 - 5

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x , 2 y

Passo 2

Igualando a zero, teremos:

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 0,0 ) → 2 x = 0

                                                                          2 y = 0

Daí, segue que (x,y)=(0,0).

Como as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo ( x , y ) ∈ D f , não há nenhum outro ponto crítico além do que já encontramos.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem:

f x = 2 x

f x x = 2

f y = 2 y

f y y = 2

Como   z = f x , y é de classe c ∞ , ou seja, as derivadas de todas as ordens existem e são contínuas (isso pode ser observado, pois não há nenhuma singularidade na nossa função, nenhum ponto em que ela não esteja bem definida, sacou ?!), sabemos que

f x y = f y x = 0

Aplicando o teste da segunda derivada parcial:

d e t H 0,0 = d e t f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = d e t 2 0 0 2 = 4

Como d e t H 0,0 > 0 e f x x 0,0 > 0 , segue que (0,0) é um ponto de mínimo local.

Como todo mínimo global é, em particular, um ponto de mínimo local e o nosso único candidato é o (0,0), segue que esse também é o nosso mínimo global.

Resposta

Existe um único ponto de mínimo global: (0,0). Não existe máximo global.

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