Enunciado

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f p , q ,   r = arctan ⁡ ( p q r ) ,                     1 ,   2 ,   1

Passo 1

O problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado. Para isso você deve lembrar que a direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do vetor gradiente. Assim, seu valor máximo será a norma do gradiente!

Tomando o gradiente de f :

∇ f p , q ,   r = q r 1 + p q r 2 ,   p r 1 + p q r 2 ,   p q 1 + p q r 2

Usando p ,   q ,   r = ( 1 ,   2 ,   1 ) :

∇ f 1 ,   2 ,   1 = 2 5 , 1 5 , 2 5

Passo 2

A direção em que a derivada direcional é máxima é a direção do gradiente:

u → = 1 4 25 + 1 25 + 4 25 2 5 , 1 5 , 2 5 = 1 3 5 2 5 , 1 5 , 2 5 = 2 3 , 1 3 , 2 3

O valor da derivada é o módulo do gradiente:

D u f 1 ,   2 ,   1 = 3 5

Resposta

D u f 1 ,   2 ,   1 = 3 5

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