Mostrar que:

∫ - π π s e n 5 x c o s 2 x d x = 0

Passo 1

Nesse tipo de questão na qual há um produto de funções trigonométricas uma boa dica é sempre pensar nas relações de transformação de produto em soma.

Como temos um produto de seno por cosseno, podemos nos lembrar que nas fórmulas de sen(a+b) e sen(a-b) aparece esse produto.

s e n a + b = s e n a c o s b + s e n b c o s a

s e n a - b = s e n a c o s b - s e n b c o s a

Passo 2

Seja a   =   5 x   e   b = 2 x

s e n 7 x = s e n 5 x c o s 2 x + s e n 2 x c o s 5 x

s e n 3 x = s e n 5 x c o s 2 x - s e n 2 x c o s 5 x

Somando as duas equações acima:

1 2 ( s e n 7 x + s e n 3 x ) = s e n 5 x c o s 2 x  

Passo 3

∫ - π π s e n 5 x c o s 2 x d x = ∫ - π π 1 2 ( s e n 7 x + s e n 3 x ) d x = 1 2 ∫ - π π s e n 7 x d x + 1 2 ∫ - π π s e n 3 x d x

1 2 - c o s 7 π 7 -   - cos ⁡ - 7 π 7 + 1 2 - c o s 3 π 3 -   - cos ⁡ - 3 π 3 = 0

Resposta

1 2 - c o s 7 π 7 -   - cos ⁡ - 7 π 7 + 1 2 - c o s 3 π 3 -   - cos ⁡ - 3 π 3 = 0

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