Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …

Passo 1

Então galerinha, vamos descobrir se essa série converge ou não?

Pra ver se uma série de somas parciais converge, precisamos calcular as primeiras somas parciais. Mas o problema é que aqui a gente não tem o termo geral a n e nem as somas parciais s n . E agora?

Bom, vamos primeiro analisar os termos conhecidos da sequência e descobrir como se comporta s n . Só depois, vamos avaliar sua convergência, a partir do limite.

Passo 2

Vamos descobrir uma expressão para s n , ok? A soma que nos foi dada é:

1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …

Disso podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é 1 o tempo inteiro, e o denominador é composto por valores múltiplos de 3 , não é mesmo? Podemos inclusive escrevê-la assim

1 3 ∙ 1 + 1 3 ∙ 2 + 1 3 ∙ 3 + 1 3 ∙ 4 + 1 3 ∙ 5 + …

Sendo assim, nossa expressão será:

s n = 1 3 n

Ou então:

∑ n = 1 ∞ 1 3 n

Hmmmm essa série é meio familiar ne? Ela sembra essa outra série aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Se a gente colocar o 3 em evidência uma dá na outra:

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 3   ∑ n = 1 ∞ 1 n

Agora vamos analisar essa série que achamos:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa série é chamada de série harmônica, galera! Se trata de uma série bem conhecida, assim como seu resultado. Essa é uma série divergente.

Bem, se essa série diverge, seu limite dividido por 3 também vai divergir. E esse é o nosso resultado.

Resposta

1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + … é   d i v e r g e n t e

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Teste a convergência ou divergência das séries.5- ∑ n = 1 ∞ - 3 n + 1 2 3 n
Teste a convergência ou divergência das séries.3- ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n
Teste a convergência ou divergência das séries.4- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 n 2 + n
Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n)
Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(j = 1)^(oo) (- 1)^j (sqrt(j))/(j + 5)