2.Calcule:

∫ 0 π 3 sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança que faremos é chamar u de sin ⁡ x :

u = sin ⁡ x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x .   E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = sin ⁡ x '

d u = c o s x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores: u 4 = sin ⁡ x 4 d u = c o s x d x

∫ sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x =   ∫ u 4 d u

Calcularemos a primitiva :

∫ sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x = u 5 5 + c  

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = sin ⁡ x ), temos:

∫ sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x   = 1 5 sin 5 ⁡ x + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 π 3 sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x   = 1 5 ( sin 5 ⁡ π 3 - sin 5 ⁡ 0 )

Sabendo que sin ⁡ π 3 = 3 2 , então sin 5 ⁡ π 3   =   9 3 32 ; e sin 5 ⁡ 0 = 0 :

∫ 0 π 3 sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x = 1 5 9 3 32 = 9 3 160

Resposta

∫ 0 π 3 sin 4 ⁡ x cos ⁡ x d x   = 9 3 160

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados