Enunciado

2.Calcule:

int_0^((pi)/(3)) sin^4 x cos x d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança que faremos é chamar u de sin x :

u = sin x

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (sin x) '

d u = c o s x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores: u^4 = sin x^4 d u = c o s x d x

int sin^4 x cos x d x = int u^4 d u

Calcularemos a primitiva :

int sin^4 x cos x d x = (u^5)/(5) + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = sin x ), temos:

int sin^4 x cos x d x = (1)/(5) sin^5 x + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^((pi)/(3)) sin^4 x cos x d x = (1)/(5) ( sin^5 (pi)/(3) - sin^5 0 )

Sabendo que sin (pi)/(3) = (sqrt(3))/(2) , então sin^5 (pi)/(3) = (9 sqrt(3))/(32) ; e sin^5 0 = 0 :

int_0^((pi)/(3)) sin^4 x cos x d x = (1)/(5) (9 sqrt(3))/(32) = (9 sqrt(3))/(160)

Resposta

int_0^((pi)/(3)) sin^4 x cos x d x = (9 sqrt(3))/(160)

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