Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 67
75. Considere a série
- Calcule as somas parciais e . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para .
- Use indução matemática para mostrar sua conjectura.
- Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma.
Passo 1
Antes de começar, vamos fazer uma correção no enunciado. Onde ele diz , na verdade é . Beleza? Então vamos para questão
a) Inicialmente, vamos calcular as somas parciais.
Então, para teremos o seguinte:
Assim,
Agora vamos ver para :
Logo,
Fazendo as contas:
Passo 2
Para :
Logo,
Fazendo as contas:
Por fim, vamos calcular o .
Logo,
Fazendo as contas:
Agora que já calculamos as somas parciais, vamos dar uma olhadinha para tentar conjecturar uma fórmula.
Olhando as somas parciais, o numerador é o denominador menos um. Já podemos ver que os denominadores são o fatorial de um número. Vem comigo!
Olhando para os denominadores:
Então, para podemos conjecturar o seguinte:
Passo 3
Agora vamos usar indução para provar a soma da nossa série.
Para :
Logo,
o que é verdade, pois achamos no item a) que
Suponha válido para :
Para :
Usando a hipótese de indução:
Arrumando as coisas, temos:
Multiplicando o segundo termo por em cima e embaixo:
Assim,
Logo,
Portanto,
O que prova a nossa conjectura!
Passo 4
Pra finalizar, vamos encontrar a seguinte soma:
Logo,
Mas já encontramos :
Assim,
Repare que quando Fica muito maior que . Dessa maneira, podemos despreza-lo.
Por fim,
Resposta
a)
c)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais