Enunciado

Ache o comprimento do arco da parábola y = x^2 de ( 0,0 ) a ( 1,1 ) .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = int_a^b sqrt(1 + (f ' (x))^2) d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos de [ f ’ (x) ] e do intervalo de integração para montar a integral.

Se f (x) = x^2 , então f ' (x) = 2 x -> [f^' (x)]^2 = 4 x^2 .

Já o intervalo de integração será de x = 0 até x = 1 , abscissas dos pontos dados no enunciado.

Sendo assim, o comprimento será dado por:

L = int_0^1 sqrt(1 + 4 x^2) d x = int_0^1 sqrt(1 + (2 x)^2) d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão ( 2 x )^2 + 1 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser 2 x = tan theta .

Passo 4

Façamos então a substituição:

[[2,x,=,tan theta],[2,d,x,=,sec^2 theta,d,theta,,,->,,,,d,x,=,(1)/(2) sec^2 theta,d,theta,]]

Dessa forma, ( 2 x )^2 = tan^2 theta -> ( 2 x )^2 + 1 = tan^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 5

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável theta . Seja então:

[[x,=,0,->,0,=,tan theta,->,,,,theta,=,0],[x,=,1,->,2,=,tan theta,->,,,,,theta,=,tan^(- 1) 2]]

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

int_0^1 sqrt(1 + (2 x)^2) d x = int_0^(tan^(- 1) 2) sqrt(sec^2 theta) (1)/(2) sec^2 theta d theta = (1)/(2) int_0^(tan^(- 1) 2) sec^3 theta d theta

Agora, para resolver essa integral, nós podemos utilizar integração por partes ou a fórmula de redução:

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x tan x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x para n = 3

Ficamos então, com:

int sec^3 theta d theta = (sec theta tan theta)/(2) + (1)/(2) int sec theta d theta

Dessa forma, utilizando a integral int sec theta d theta = ln |sec theta + tan theta| + C , temos:

int sec^3 theta d theta = (sec theta tan theta)/(2) + (ln | sec theta + tan theta |)/(2) + C

Prontinho!

Passo 6

Agora vamos resolver a definida substituindo a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

L = (1)/(2) int_0^(tan^(- 1) 2) sec^3 theta d theta = ((1)/(2) ((sec theta tan theta)/(2) + (ln |sec theta + tan theta|)/(2))|_0^(tan^(- 1) 2)

L = (1)/(4) (sec (tan^(- 1) 2) tan (tan^(- 1) 2) + ln |sec (tan^(- 1) 2) + tan (tan^(- 1) 2)| - (0))

Este é o resultado, mas vamos simplificar usando a relação:

sec (tan^(- 1) x) = sqrt(x^2 + 1)

Ficamos então com:

L = (1)/(4) (sqrt(2^2 + 1) * 2 + ln |sqrt(2^2 + 1) + 2|) = (1)/(4) (2 sqrt(5) + ln ( sqrt(5) + 2 ))

Sendo assim, o comprimento é L = (1)/(4) (2 sqrt(5) + ln ( sqrt(5) + 2 )) u . c

Resposta

L = (1)/(4) (2 sqrt(5) + ln ( sqrt(5) + 2 )) u . c

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