Enunciado

Ache a derivada da função dada

g (t) = cosh^(- 1) (sqrt(t^2 + 1))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma raiz, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( cosh^(- 1) t ) ' = (1)/(sqrt(t^2 - 1)) t > 1

Porém, quando temos uma função no lugar de t , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de t .

( cosh^(- 1) u ) ' = (u ')/(sqrt(u^2 - 1)) u > 1

Passo 2

No nosso exemplo, g (t) = cosh^(- 1) underset(u)(ubrace (sqrt(t^2 + 1))) , logo u = sqrt(t^2 + 1) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

g ' (t) = ( cosh^(- 1) sqrt(t^2 + 1) ) ' = ((sqrt(t^2 + 1)) ')/(sqrt((sqrt(t^2 + 1))^2 - 1)) = ((sqrt(t^2 + 1)) ')/(sqrt(t^2 + 1 - 1)) = ((sqrt(t^2 + 1)) ')/(sqrt(t^2))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de sqrt(t^2 + 1) = (t^2 + 1)^((1)/(2)) .

Devemos lembrar que ( t^n ) ' = n t^(n - 1) , porém temos, no nosso exemplo, t^2 + 1 no lugar de t , então devemos utilizar a regra da cadeia:

[(t^2 + 1)^((1)/(2))]^' = (1)/(2) (t^2 + 1)^((1)/(2) - 1) * (t^2 + 1)^' = (1)/(2) (t^2 + 1)^(- (1)/(2)) * (2 t) = (t)/(sqrt(t^2 + 1))

Passo 4

Substituindo a derivada (sqrt(t^2 + 1)) ' = (t)/(sqrt(t^2 + 1)) em:

g ' (t) = ((sqrt(t^2 + 1)) ')/(sqrt(t^2)) = ((t)/(sqrt(t^2 + 1)))/(sqrt(t^2)) = (t)/(sqrt(t^2 + 1) sqrt(t^2)) = (t)/(sqrt(t^4 + t^2))

Concluímos a questão.

Resposta

g ' ( t ) = (t)/(sqrt(t^4 + t^2))

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Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → 0 - ⁡ coth ⁡ x
Encontre a derivada. f x = e cosh ⁡ 3 x
Encontre a derivada. f x = x coth ⁡ x 2 + 1
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → 0 + ⁡ coth ⁡ x
Encontre a derivada. f x = ln ⁡ ( s e n hx )