Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = sen ⁡ x ,                     a = π / 6 ,                     n = 4 ,                     0 ≤ x ≤ π / 3

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 4 precisaremos até a quarta derivada, então derivando e substituindo no centro x = π / 6

    f = sen ⁡ x ⇒ f π / 6 = 1 2

    f ' = cos ⁡ x ⇒ f ' π / 6 = 3 2

    f ' ' = - sen ⁡ x ⇒ f ' ' π 6 = - 1 2

    f ' ' ' x = - cos ⁡ x ⇒ f ' ' ' π 6 = - 3 2

    f 4 x = sen ⁡ x ⇒ f ( 4 ) π / 6 = 1 2

    Então nosso polinômio é

    T 4 = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 2 ⋅ 2 ! x - π 6 2 - 3 2 ⋅ 3 ! x - π 6 3 + 1 2 ⋅ 4 ! x - π 6 4

    T 4 = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3 + 1 48 x - π 6 4

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quinta derivada

    f ( 5 ) x = cos ⁡ x

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0 ≤ x ≤ π / 3 , nesse intervalo o cosseno é positivo e seu valor é decrescente, então podemos afirmar que em x = 0 temos o seu maior valor, logo

    f ( 5 ) x ≤ f 5 0 ,                     x ∈ [ 0 , π / 3 ]

    Então podemos usar

    M = f 5 0 = cos ⁡ 0 = 1

    Passo 3

    Temos então que

    R 4 x ≤ 1 5 ! x - π 6 5

    Agora precisamos do valor de x - π 3 5 , se manipularmos o intervalo 0 ≤ x ≤ π / 3 subtraindo π / 6 em todas as partes da igualdade

    - π 6 ≤ x - π 6 ≤ π 6

    Podemos colocar em módulo

    x - π 6 ≤ π 6

    Elevando a quinta potencia

    x - π 6 5 ≤ π 6 5

    Logo

    R 4 x ≤ 1 5 ! π 6 5

    R 4 x ≤ 0,00033 … = 3,3 × 10 - 4

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 4 = sen ⁡ x - T 4

R 4 = sen ⁡ x - 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3 + 1 48 x - π 6 4

R 4 = sen ⁡ x - 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3 + 1 48 x - π 6 4

No plano

Pelo gráfico parece que o erro é menor que 3 × 10 - 4 .

Resposta

  1. T 4 = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3 + 1 48 x - π 6 4
  2. R 4 x ≤ 3,3 × 10 - 4
  3. y = | R 4 ( x ) |

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