Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 16
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte (b) traçando
Passo 1
- Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
- Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então
- Traçando o gráfico de , para achar a função vamos usar a definição que diz
Para precisaremos até a quarta derivada, então derivando e substituindo no centro
Então nosso polinômio é
Passo 2
Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quinta derivada
Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , nesse intervalo o cosseno é positivo e seu valor é decrescente, então podemos afirmar que em temos o seu maior valor, logo
Então podemos usar
Passo 3
Temos então que
Agora precisamos do valor de , se manipularmos o intervalo subtraindo em todas as partes da igualdade
Podemos colocar em módulo
Elevando a quinta potencia
Logo
Passo 4
No plano
Pelo gráfico parece que o erro é menor que .
Resposta
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