Enunciado

Avalie a integral definida.

int_0^1 (3 t - 1)^(50) d t

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int_0^1 (3 t - 1)^(50) d t

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = 3 t - 1

(d u)/(d t) = 3 -> d t = (1)/(3) d u

Além disso precisamos alterar os limites de integração:

t = 1 -> u = 3 (1) - 1 = 2

t = 0 -> u = 3 (0) - 1 = - 1

Substituindo:

int_0^1 (3 t - 1)^(50) d t = int_(- 1)^2 u^(50) ((1)/(3) d u)

= (1)/(3) int_(- 1)^2 u^(50) d u

Agora ficou moleza!

Passo 2

Bora integrar:

(1)/(3) int_(- 1)^2 u^(50) d u = (1)/(3) ((u^(51))/(51)|_(- 1)^2

Aplicando os limites de integração:

(1)/(3) ((u^(51))/(51)|_(- 1)^2 = (1)/(3) ((2^(51))/(51) - (- 1^(51))/(51))

= (2^(51) + 1)/(153)

Assim temos:

int_0^1 (3 t - 1)^(50) d t = (2^(51) + 1)/(153)

Prontinho!

Resposta

int_0^1 (3 t - 1)^(50) d t = (2^(51) + 1)/(153)

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