Enunciado

Avalie a integral definida.

int_0^(13) (d x)/(root(3)((1 + 2 x)^2))

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int_0^(13) (d x)/(root(3)((1 + 2 x)^2))

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = 1 + 2 x

(d u)/(d x) = 2 -> d x = (1)/(2) d u

Quando aplicamos esse método, precisamos nos preocupar com os intervalos também, então:

x = 0 -> u = 1 + 2 (0) = 1

x = 1 3 -> u = 1 + 2 (13) = 27

A integral fica:

int_1^(27) (1)/(root(3)(u^2)) ((1)/(2) d u)

(1)/(2) int_1^(27) u^(- (2)/(3)) d u

Passo 2

Agora a gente vai integrar:

(1)/(2) int_1^(27) u^(- (2)/(3)) d u = (1)/(2) [3 u^((1)/(3))]_1^(27)

Aplicando os limites de integração:

= (3)/(2) [3 - 1] = 3

Assim, temos:

int_0^(13) (d x)/(root(3)((1 + 2 x)^2)) = 3

Prontinho!

Resposta

int_0^(13) (d x)/(root(3)((1 + 2 x)^2)) = 3

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