Enunciado

Avalie a integral definida.

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral!

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

u = x - 1

Calculamos d u :

(d u)/(d x) = 1 -> d x = d u

Agora temos que alterar os limites de integração:

x = 2 -> u = 2 - 1 = 1

x = 1 -> u = 1 - 1 = 0

Ficamos então com:

int_0^1 (u - 1) sqrt(u) d u

int_0^1 (u + 1) u^((1)/(2)) d u -> int_0^1 u^((3)/(2)) + u^((1)/(2)) d u

Passo 2

Agora vamos integrar:

int_0^1 u^((3)/(2)) + u^((1)/(2)) d u = ((u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) + (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)|_0^1

(= (2)/(5) u^((5)/(2)) + (2)/(3) u^((3)/(2))|_0^1

Aplicando os limites de integração:

(= (2)/(5) u^((5)/(2)) + (2)/(3) u^((3)/(2))|_0^1 = (2)/(5) 1^((5)/(2)) + (2)/(3) 1^((3)/(2)) - ((2)/(5) 0^((5)/(2)) + (2)/(3) 0^((3)/(2)))

= (2)/(5) + (2)/(3) = (16)/(15)

Assim, temos:

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x = (16)/(15)

Prontinho!

Resposta

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x = (16)/(15)

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